Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Скачать файл (18,13Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4) образ	кольца	й*	в 91* порожден квадратами элементов
кольца 91*, т. е. изоморфен кольцу Z2 [аф];
5) образ кольца 7/'Д (С, 2)				в 9і* порожден квадратами элемен
тов кольца	7/** (Dl, 2);
■>	кольца	su	в 91* аддитивно порожден		квадратами
6) образ		й*
элементов из группы im ді и				полиномами над Z2 от классов x\k
(к не является степенью двух) и от классов x^j.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В качестве классов xt, которые удов
летворяют	свойствам 1)—5),			выберем классы х и	построенные
в гл. VIII. Проверим для этих классов утверждение 6). Рассмот
рим 7/'% (С, 2)-многообразие				М, и пусть [М\ — [М'\2 в		кольце
91, где М ' принадлежит кольцу 2Г (И, 2). Формулы					для	вычис

ления чисел Чжэня многообразия дМ точно такие же, как для вычисления чисел ПІтифеля — Уитни многообразия dLM ', поэто

му	[дМ\ — [біМ']2 в кольце				91*.	Следовательно, группа		im д
отображается			на	группу, порожденную			квадратами классов
из группы im dj.				ker д аддитивно		порождается группой		im д
	Далее, группа			ker д аддитивно		порождается группой		im д
и полиномами			от	классов
	с4	=	Ф (ІСР (I)]2) =		9 [CP (I)]2 -		8 [СР (2)]
и
Овп	Ф (z4n)	z4n—2 Ф (Z2Z4n) =
				= z4nT'2 [F4] Z4'î,_2-- 22Z4n34„_2---4 [F4j z'/^o.

Так как z' = [CP (1)] отображается в нуль кольца 91*, то образ группы кет д в 9І* аддитивно порожден квадратами классов из im ді и полиномами над Z2 от классов zfn. Но класс z4„ отобра жается в .тіц, если п не является степенью числа 2, н в Хп, если п является степенью числа 2. Кроме того, классы с8п содержат

^^-многообразия, так как ker 9 = im (й*и ->• Й*) в размерно

стях, делящихся	на 8, поэтому образы кольца Й*° и группы ker д
в 9Ï* совпадают	и описываются, как в утверждении 6). в

Образ кольца й*17 в 91* , следуя Коннеру и Ландвеберу [1], можно описать и другим способом; а именно, имеет место

Т е о р е м а . Образ кольца й*и в 91* состоит из классов не ориентированных кобордизмов [М]2, где М — ориентированное многообразие, у которого все числа Понтрягина, делящиеся на ÿ,, являются четными.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А* с: 91* — кольцо классов кобордизмов, порожденное ориентированными многообразиями,

у которых все числа Понтрягина, делящиеся на £Рі, являются четными.

Так как все числа Понтрягина равняются нулю на элементах

группы im ді с: im{Q®° Я!:*}, то im ді er А^. Кроме того, элементы z[n являются классами кобордизмов комплексных мно гообразий, у которых все числа Чжэня, делящиеся на cf, равны нулю. Но в (mod 2)-когомологиях класс щ приводится к классу ш2, а — к классу w\, и так как числа Понтрягина выражаются через числа Чжэня или числа Штифеля — Уитни (когда они

приведены	mod 2),	то z\n £ А *. Таким образом, кольцо, порож
денное квадратами		классов из	содержит образ кольца
Пусть	Z?* сг А.м — подкольцо,		аддитивно порожденное груп
пой im ді	и полиномами от zîn. Тогда образ кольца ß®17 в 9Î* есть
в точности кольцо,		порожденное	квадратами классов из В *.
Рассмотрим теперь кольцо			(ker djim ді) = (im ß*0/im ді),

двойственным которому является кольцо чисел Понтрягина, при веденных mod 2. Тогда двойственным к A J im ôj является про странство чисел Понтрягина mod 2, не содержащих gh в ка честве множителя, поэтому ^4*/іт ді имеет размерность, равную

размерности	кольца Z2 [£р; \| і > 1 ]. Так как (B J im <9і) =
= Z2 \z‘iin I n ^ 2], то В* =		А ч, что и завершает доказательство, в
Теорема	характеризует	образ кольца ßu в 9Î как кольцо»

порожденное классами кобордизмов, у которых все числа Штифе ля — Уитни, делящиеся на нечетномерные классы wt или на w2,

равны нулю, и у которых все числа Штифеля — Уитни вида w\w\m равны нулю. [Такими являются квадраты (числа, содержащие

нечетномериые классы wt,		равны нулю) классов кобордизмов
с Wi =	0 (следовательно,	ориентированных), у которых числа
wfw2 ш=	f i f CÙ(mod 2) равны нулю.J
Связь с ориентированными кобордизмами
Так	как 2-примарные результаты о связи кольца ß*b с ß®°

уже изучены, то можно перейти к рассмотрению композиции гомоморфизмов

/: Qsu I* Qso Л ßf/T ors.

Записывая универсальный класс Поитрягина 4p£H*(BS0; iQ,) в виде ["J ( 1 жз), dimx^ = 2, определим классы Sa(e^) как сим метрические функции S0, от переменных ехі + е\ хі —2 и класс А —как произведение функций 2 sinh (zjl2) . Рассмотрим гомомор-

1 7 - 0 1 0 2 4

физм
р: Я* (BSO-, Q.) —> Q. [а,-]: х —>■2 S® (ер) Л [х]-аа
и положим Bsn° = {x e H n{BSO-, Q-) \| р (a;) Ç Z. [а;]}		и Я®°=ф5®°.
		71
З а м е ч а й и е. Если х б Я„° и со б я (п/4), то Sa (вр) Â [а.] =
= Sa (ср) [a;] g Z,	так что х является образом	целочисленного
класса гомологий.	Так как р (х) б Z [1/2] [а,],	то х фактически

является образом фундаментального класса ориентированного

многообразия, так что 5 ? °		с тЙ?° (13).
Так как р (х) б Z [1/2] [а,] для всех х б тй* , то Вп					является
в тй,г° подгрзшпой 2-прпмарного индекса.
Л е м м а. Если М — многообразие с «Р (С2)-структурою>, то
т [ЛЯ] 6 В*0, т. е. образ	группы		W 4 (С, 2)	в тй£° содержится
nso
в £* .
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Если	dim М Ф 0 (mod		4),	то
Sa (ер) Ä[M] = 0, а если	dim il/ =		0 (mod 4),	то
(ер) Â [М] =		(ер) Â 2		(М\ =

= Sa(e9)tf[M \Z-L,

так как любая ненулевая компонента характеристического класса (вр) А имеет размерность, делящуюся на 4, и является поли номом от классов Чжэня многообразия М , которые аннулируются

умножением на cjh. Значения характеристического числа целые, так как Sa(ep) [il/] равно числу в Я-теории. g|

Л е м м а.		Пустъ Р% а	W* (С, 2) <g>Z [1/2] —кольцо целочислен
ных полиномов Z [х2, х 2і —			(1/2) xtX2i-i\■ При					естественном гомо
морфизме	групп
		т: /Г* (С, 2) ® Z [1/2]			-> Bs° ® Z [1/2]
подколъцо Р* отображается в Я \|°					и т \|р+		является гомоморфиз
мом колец.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Так как Р^ а			ker д, то стандартное
и нестандартное умножения совпадают						на	Р%, и поэтому т ір*
является	гомоморфизмом			колец.	Так	как		х\ б 7//Д (С, 2), то
т (х\) б 2?\|°,		тогда как т (х2і — (1/2) х 1х2і_1)					= т (х2і), поскольку
т (х,) = 0,	и	т (х2і) б В%°,		поскольку		х2і б W \ (С, 2). а

П р е д л о ж е н и е . Кольцо B f0 является кольцом целочислен ных полиномов от классов ун , і ^ 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть	у,Л — т {х2і — (1/2) х1х2і_і),
i > 1 , и г/,, =	т (ж2). Тогда	5 (i) (^)	[г/4г] =	m2im2i^ , если i > 1 ,
iS(i) ($>) [ÿ4j =	—SS\i) (<$>) [CP (2)] =		- 8 - 3	и кольцо Qf° <g> Z[l/2]

порождается этими классами. Таким образом, тР* является в 5 f° подгруппой 2-примарного индекса.

Заметим также, что элемент р2 (ун ), равный р (г/4і) (mod 2),

имеет наибольший моном		для какого s,
a)	а г, если і Ф 2s ни	для какого s,
b)	(a2s-i)a, если i = 2s	для некоторого s > О,

c) 1, если і = 1,

как показано при вычислении ,ЙГ0*-чисел элементов zt. Таким образом, кольцо тР* имеет в Р§° нечетный индекс, откуда сле дует, что гомоморфизм т: Р* В%° является изоморфизмом. ■

Л е м м а . Для любой последовательности (tj, . . ., іТ) элемент 2//4іі • • • Уаг является образом SU -многообразия, а элементы у4


и	у\і (для	всех і) являются образами комплексных многообразий,
у	которых	все числа Чжэня, делящиеся на					Cj,	равны		нулю.
	Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть		г/4, — класс			кобордизмов
57Д (С, 2)-многообразия М н .				Представим				[ikf4£]		в виде
(1/2) ([JV4i]		— [СР (1)]	[JV/j;- 2]),	где	N 2j является				S ^/-многообра
зием (N 2 — пустое многообразие).					(ilt	. . .,	іг)	имеем
	Для любой последовательности
д {[CP (1) X М іи X . . .			X M,iir[) = -i-ö{[Ar4ii X				. . . X N а,. X CP (1)]+
		+ (члены	[CP (1)‘ X П N а X П -^Ц-г])} =
			= 2г-1		[ ^ 4іі X . . .			X /V4і,-] ~Ь