Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

И

В = [Af4i]* + [C P (l)N ii^ M ii] -2 ([C P (i)f-[C P (2 )]) [ЛГ4і_а]я =

- 1 (8 [CP (l)]2 —8 [CP (2)]) [tf4,_2]s.

Из разложения очевидно, что А = В, где В задается как класс кобордпзмов комплексного многообразия, а А имеет все числа Чжэня, делящиеся на сь равными нулю. Так как [./Ѵ4І_2] являет­ ся нулем в ориентированных кобордизмах по модулю кручения, то В , очевидно, является классом у4І. щ

Из леммы Коннера и Ландвебера о том, что Ж?*-числа обна­

Так как образ кольца Q,fu в 0,° совпадает с кег д в размерностях вида 8к и совпадает с im д в размерностях вида 8к + 4, то, суммируя результаты этого параграфа, получаем следующую теорему:

ленных полиномов TL \уц] = B f0. Более того, группа im д отобра­ жается на 2B f0, кольцо кег д отображается на кольцо, порожден­ ное кольцами 2Bf° и Z [у4, у| { j і > 1], а кольцо отображает­ ся на кольцо, порожденное кольцами 2B f0 и Z [г/fj].

ГЛАВА XI

SPIN-КОБО РДИЗМЫ,

SPINc-KOBOPAH3Mbl

Среди теорий (В, /)-кобордизмов самые интересные примеры строятся на основе классических групп Ли. Наиболее трудными из успешно исследованных являются теории (В, /)-кобордпзмов, заданные группами Spin и Spin0. Группа Spin исторически воз­ никла при изучении групп Ли как односвязная накрывающая специальной ортогональной группы.

Чтобы оправдать изучение этих теорий, укажем здесь на дру­ гой подход к ним. Коротко говоря, классификационная задача теории Spin- и Эріпс-кобордизмов — это задача классификации кобордизмов многообразий, ориентируемых в КО*- и /Г*-теориях когомологий соответственно.

Первоисточниками по этому вопросу являются статья Атья, Ботта и Шапиро [1], в которой обсуждаются структурные группы, и статья Андерсона, Брауна и Петерсона [3], в которой вычислены теории кобордизмов.

Для начала вернемся к построению классов ориентаций в К- теории для комплексных расслоений. При построении классов ориентации векторное пространство A (C h) рассматривается как пространство представления унитарной группы Uk. Естественно возникает вопрос: можно ли найти еще большую группу, дейст­ вующую на пространствах С ,г и A (С Д одновременно, которая будет обладать всеми использованными при построении класса

где К = (Аь . . кр). Тогда T (eL) = 0, если L Ф I, и Т (е{) = = ej. Так как операции этого типа образуют базис пространства

З а м е ч а н и е . Утверждение с) может быть сформулировано также следующим образом: если ѵ и w ортогональны относительно вещественного скалярного умножения Re ( , ), то ф0фц, + фшфе =

=0.

Оп р е д е л е н и е . Пусть V — вещественное векторное про­ странство со скалярным умножением. Клиффордовой алгеброй

пространства V (обозначается Cliff (У)) называется пара (A, f), где А — вещественная алгебра с единицей и /: V А — линейное отображение, такое, что / (ѵ)2 = || и |[2 -1, причем для любой пары (В, g), обладающей этими свойствами, существует единственный

ственной с точностью до естественного изоморфизма. Если ѵи . . .

ф: Cliff (С'4) <S>(R,E -»-End (Л(СЙ)) определен и является гомоморфиз­

мом алгебр над С. Обе алгебры имеют размерность 22h над С, и поэтому достаточно показать, что ф является эпиморфизмом.

З а м е ч а н и е . Основным в этом результате является то, что он дает очень простой способ описания алгебры эндоморфизмов.

Алгебра Cliff (Сй) при этом описывается следующим образом:

П р е д л о ж е н и е . Отображение ф отождествляет алгебру Cliff (Сй) с вещественной подалгеброй алгебры End (Л (Сй)), обра­ зованной эндоморфизмами, коммутирующими с и.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как р, о ф0 = ф„ ° р (лемма 8

гл. IX), то эндоморфизмы из образа алгебры Cliff (Сй) коммути­ руют с р. Так как рі = —гр (лемма 3 гл. IX), то алгебра Cliff (Сл) совпадает с подалгеброй всех элементов из Cliff (Сй) ® С, образы которых являются эндоморфизмами, коммутирующими с р. I Теперь ясно, что большую часть построения ориентации в К-

теории можно осуществить, рассматривая группу Gc (или G), состоящую из элементов алгебры Cliff (Сй) ® С (или Cliff (С*4)), которые:

1) обратимы (т. е. являются автоморфизмами пространства

А(С'4));

2)удовлетворяют условию х*х — 1, где * — антилинейный

антиавтоморфизм алгебры Cliff (Сй) ® С, определенный сопря­ жением эндоморфизмов. Операция * является тогда, очевидно, антилинейным антиавтоморфизмом, который тождественно дейст­ вует на Сй с Cliff (Сй), так как (ф„)* = F% + F T = ф0. [Заме­ тим, что эндоморфизм ф (я) сохраняет скалярное произведение

Тогда для любого главного (?с-расслоеиия (или G-расслоеішя) можно образовать ассоциированное векторное расслоение со слоем A (Сй), разлагающееся на четное и нечетное слагаемые (п допускающее послойное отображение ц). Далее, необходимо

иметь векторное расслоение со слоем Сй или 01ЗІІ), каждый слой которого действует на А (Сл), так что определено отображение

ванное с главным С?с-расслоением (или G-расслоением) при помощи некоторого действия группы GC (или G) или их подгруппы на С1’.

Пусть g Е Gc; выясним, когда для вектора ѵ Е А2,1 можно найти вектор gu Е 512&, такой, что g ° ф„ — фй0 ° g. Так как g = ф (а;) для некоторого х Е Cliff ('Я2'1), то

ф И ° <Рѵ (У) = Фг» ° Ф (х) (У)

и, следовательно,

<pgv = ф {х) 0 фи 0 ф (^)_1 = ф (хих'х),

или

gv — X -и -а.’-1.

ствует на Сй, и для любого векторного расслоения, ассоциирован­ ного при помощи этого действия, может быть построена ориентация в А-теории.

Cliff (Ülh)), состоящая из обратимых элементов g, таких, что

1)gvg~l Е для всех и Е

2)g*g = 1, где » — аитилинейный антиавтоморфизм, продол­

жающий тождественное отображение пространства К1';

3) g — однородный элемент нулевой степени в Zg-градуировке. Проведенное выше исследование показывает, что Spinc-

иSpin-расслоения являются соответственно К*- и АО*-ориенти-

1)я — проекция расслоения со слоем СА. — Прим, перев.