Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Определим представление группы

Г*

на 51й отображением

р: Г* -> Aut (01й)

по формуле

р (а) (у) = (—1)йее'г хух~г,

где

deg х — целое число-

mod 2, равное степени элемента х в Ж2-градуировке.

Л е м м а

3. Ядро гомоморфизма

р: Гй -v Aut (IIй) представ­

ляет собой автоморфизмы вида г Л,

где г —

скаляр

и || г || = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если х Ç ker р,

то ху =

(—l)degx ух

для всех у Ç Шй. Пусть eit

. . ., eh — фиксированный ортонорми­

+

віb, где a, b не содержат

и deg а =

deg х , deg b = deg х + 1.

Тогда хві = аві

+ е^Ьві =

аеі + (—l)de^ bö

и (—l)tie°rxe1:c =

=

(—l)des xe1а -f

(—l)de° xö,

поэтому

b = 0.

Аналогичные рас­

не может содержать в себе ej ни для какого /,

поэтому х = 7-1.

Так как х*х =

гг = 1,

то ||г || = 1.

■

Л е м м а 4.

Образ

р (Г/,) содержится

в

группе изометрии

пространства

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем || p

(x) y ||2 = (p (x) y)*(p(x)y) =

= (—l)des x (x~1)*y*x* •(—l)dee Ххух~х =

y*y

=

|| y ||2, поэтому ав­

(

— еи

і = 1,

Р («і)(ег)= —вівіві = I

е .

і ф і '

. . .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х Ç Г*. Тогда р (х) = Ri° . . .

° Rq для некоторых отражений Rj. Выбрав векторы Xj £ S k~l,

такие, ято р (xj) =

Rj, получаем х = г •Хі . . . x q. Тогда del р (х) =

=

(—I)5 и deg X == Q(mod 2), поэтому р (х) Ç SOh тогда и только

тогда, когда deg х = 0.

■

О п р е д е л е н и е .

Группа

Г* для

алгебры Cliff (Uft) ® С

называется группой Pin* и для алгебры

Cliff (3lh) называется

группой Pin*.

Т е о р е м а .

Существуют точные последовательности

1

Ріп£

Ou

1,

1

Ui - » Spin*

-> SOh -► 1,

1 =—s- Z2 —> Pin* —>Ojt —s- 1,

1 —s- Z2 —>■Spin* —> SOh

1

и изоморфизмы

жения Pin*

Pin* и Ui -*■ Pin*. Как отмечалось в доказательст­

П р е д л о ж е н и е . Для к ^

2 отображение р: Spin*

SOk

является нетривиальным двулистным накрытием.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно

показать, что элементы

+ 1 и —1 из ядра отображения

р могут

быть соединены путем

X: [0, л] -*■ SpinA:

t

cos (t) + sin (t) ■eiß2. ■

С л е д с т в и е .

Для k ^

2

группа

Spinft

является связной,

а для А >

3 — односвязной.I

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем я 0 (SOh) = 0; Я! (SOh) = Z,,

A > 3 . ■

Обратимся теперь к изучению классифицирующих пространств

этих групп.

lim Spin* является одно­

Заметим сначала, что группа Spin =

связным

накрытием

группы

SO, так

что

классифицирующее

-*■ К (Z2, 2),

реализующего класс

іѵ2 (и индуцирующего

изомор­

физм групп

я 2), т. е. имеет

место коммутативная диаграмма

В S pin ------> РК (Za, 2)

J

I

BSO

К (Za, 2)

и слоем расслоения я является

К (Z2, 1).

R) для

Легко вычислить кольцо

когомологий Н* (В Spin;

Sqn~1SqnU — Wzn-iU -f 2

diSq211' 1-' (WiU) =

i=i

s

2n—i—i

= w2n-iU -h 2

ai 2 (Sq~n~1~i~iwi) • WjU.

i=i

;=0

= Sqn~hon • U +

71—

1

{S q ^^w ^ -w jU =

2

i=i

= (Sqn~1wn4- разложимые элементы) • U.

Приравнивая эти два выражения

для Sqn~1SqnU, получаем

тре­

буемый результат, в

С л е д с т в и е .

Гомоморфизм

/*:

Н *(К (Z2,

2); Z2)

—>

—г- H*(BSO; Z2) является мономорфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Кольцо

Я* (Я (Z3, 2);

Z2) является

кольцом полиномов над Z2 от классов

Sqh2, где I =

(2r, 21'-1,

. . _

. . ., 1). Применяя

лемму, получаем,

что

Sq1w2 — W2T+i+1 +

+ (разложимые элементы). Так как Я* (ВSO;

Z2) — кольцо поли­

номов над Z2 от классов wh

і > 2 , то из этого следует, что /* —

мономорфизм. I

такое

Теперь получаем

П р е д л о ж е н и е .

Гомоморфизм

я*: Я* {ВSO; Z2) —>-

кольцо ï 2 [wi

\ і Ф

і, 2Т+

1;

г ^

0] отображается изоморфно

на Я* (В Spin;

Z2).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим через

Е*

спектральную

последовательность

расслоения

я,

через Е'*

—

спектральную-

я*:

Z2 [к>г

\ і ф 1, 2Г+

1; г ^ 0]

Я* (В Spin; Z2)

является

изоморфизмом, g

Опишем теперь пространство В Spinc.

2) ->■ К (12, 2),

Рассмотрим

отображение

g:

BSO X К (/,

такое, что g* (і2) = w2 (g> 1 -f- 1 ® i,

и

обозначим

через B Spinc

, BSpinc

> РК{£-2J 2)

иг I

I я'

д

1

BSO<—-— BSO X К (Z, 2) — —> К (Z2, 2)

Тогда

существует

расслоение

я: В Spinc ->■ 5 5 0

со слоем

К (Z, 2) = BU 1

,

соответствующее точной

последовательности

1

Оі

Spin0

50

1.

З а м е ч а н и я .

1. Существует гомоморфизм Spin/; х Ut

SOh X Up. (х, у)

(р (ж), г/2),

индуцирующий изоморфизм Ѳ:

Spin0 ^

SpinÄ

-ь 5 0 ft X

CZi,

который дает точную после­

довательность

1

Z2 ->■ Spin0 -V 5 0 д X

O'j —>- 1.

Данная

выше

конструкция

пространства

В Spin0

представляет

спектральной последовательностью,

получаем, что

я'* — эпи­

морфизм, ядром которого является идеал, порожденный как

модуль

классом

w2 + і.

В частности, я*:

H* (BSO; Z2)

— Н* (В Spin0; Z2) — эпиморфизм,

ядром которого

является

идеал,

порожденный как

^-м одуль

классом

w3 (Sq1 (w2 + i) =

= W3 B

H * (BSO X BU L;

Z2)).

З а м е ч а н и е .

Пусть f: В Spin X BU t

BSO — отображе­

ция

на

второй

сомножитель.

Тогда отображение / X я:

В Spin X BU і

BSO X K (Z, 2)

поднимается

до

отображения

/: 5

Spin

X BUi ->■ В Spin0. Непосредственно

из

конструкции