Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

построенные выше классы

ориентации.

П р е д л о ж е н и е .

Пустъ %— некоторое Spin

{или

Spin0)-pacoioeKne над пространством X и U (!) Ç КО* (71!)

(или

Пустъ Фд : Н * (ТѢ; (Q. ) —>- Н * (X;

C l) — гомоморфизм,

обратный

к изоморфизму Тома,

определенному стандартной ориентацией

в когомологиях, связанной с SO-структурой

расслоения

Тогда

a) Фд

(ch (ф£7 (!))) = Â (—£)

для Spin-расслоения !, где ф —

обычный

гомоморфизм

комплексйфикации КО* — К* ;

B) Фя

(ch (U (!))) = есіІеѴ2 . ^ 4

(—£)

рля

Spinс-расслоения !,

где С) (t)

Ç Н'г {Х\ Z) — целочисленный класс когомологий, сущест­

вующий

ввиду Брілс-структуры, приведение которого по модулю 2

есть класс и\ (!).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ввиду стабильности и естественности

классов

ориентации

классы

Фд-1(ch (ф£7 (!)))

и

Фд1 (ch U (!))

являются образами элементов из H* (В Spin;

Cl) и Н* {В Spin0; Q,}

соответственно.

Вложениям групп f/Ä->- Spinfh и SU k

Spin2^ соответствуют

отображения

классифицирующих

пространств

U BZ7-ѵ В Spin0

и и: BSU

В Spin.

[Заметим,

что

естественное

отображение

В SU

ВSO поднимается до отображения

в

В Spin,

так как

пространство

В SU является

3-связным; отображение

t'\ BU ->-

Для S £7-расслоения

£ имеет место формула Фд1 (ch ф£/ (£)) =

= З1(—£), точно такая

же, как и для комплексного расслоения.

левую

гомотопическую

группу.

Тогда

то

гомоморфизм

/*:

a)

если

к =

0,

1,

2,

4 (mod 8),

Нг (К (лк (ВО), к);

Zo) —*- Н г (ВО (к,

. . ., оо);

Z2)

является

эпи­

морфизмом

для

і <

2к,

и

в

этих ■ размерностях

группы

Н * (ВО (к,

. .

оо); Z2) изоморфны

группам

1)

(cA2/.d2Sq1 + c42Sq2)f*(ih),

/с =

0 (mod 8),

2)

( d 2/ J 2Sq2) /* (ift),

к s

1 (mod8),

3)

( J z / d z S q 3) } * ( і и ) ,

к Ï B

2 (mod8),

4)

(J:2/J;2Sq1A-cé2Sqi)f*(ih),

/с =

4 (mod 8);

g*:

b) если

к —

четное

число,

то

гомоморфизм

H 1(К (nh (BU), к);

Z2)

H 1(BU (k,

. . ., oo);

Z2)

является эпи-

морфизмом

для

і <

2к,

и

в

этих

размерностях

группа

H* (ВU (к,

. . .,оо);

Z2)

изоморфна

группе

(AdJk-ßq2 +

положим, что утверждение Р (/)

верно, и попытаемся вывести

из него утверждение P (j + 1).

Рассмотрим расслоения

ВО (к-f-1, ...,

оо) —*ВО(к, ..., оо ) —>К (nh(BO), к),

BU ( & + 1 , . . . ,

o o )-^B U (к, . . . , оо) —>К (яь (BU), к).

Спектральные последовательности

этих расслоений дают точные

последовательности

. . . - * я ; д о + 1 , . . . , о о ) ) Л

я і+1(X (nk (X), к)) -> Я і+1 (X (fe,... , ОО)) _> ... ,

...~ * H U { X (k + 1

,

оо) ) Л

—

Я 2Ь+1 (X (Ял(X), к))

Я 2,!+1 (Х(к,

ОО)),

в которых т: Я 1(X (& + 1. . .

оо))

Я і+1 (X (я*

(X), /с)) явля­

ется гомоморфизмом

трансгрессии.

оо)) =

=

По индуктивному предположению Я* (X (к + 1, . .

(А 2Ші)-Хі

в

размерностях,

меньших

2 (Я

1)

и к +

1 -j- /,

где

I; ( Я 1(X

(fc + 1,

. .

оо)) — ненулевой

класс

наименьшей

положительной

размерности

и

— соответствующий

идеал.

Трансгрессия

т является гомоморфизмом ^-модулей, и поэтому

О

Лгійі Л

Я* (X (яА(X), Л))

А г!&к

О,

где xxt =

<(l)-ift, так

как тогда из точности последовательности

соответствующей последовательности.

Л е м м а.

Гомоморфизм

т: Я 2І+2 (BU (21 + 1, . . .,

оо)) ->-

—VЯ 2^ 3 (X (Z, 21))

переводит хгМ

в Sq31 2(.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

образующим

группы

Я 21+3 (X (Z, 21)) =

Z2 является £д3ігг, то достаточно показать,

что та2г+2 =7^ 0. Согласно периодичности,

Q2l~*BU (2£ +

1, . . .

. . ., оо) = BU (5, . . ., оо), поэтому в свою очередь достаточно

показать, что та6 =

Sq3i,t в расслоении BU (5, . . ., оо)

BSU =

= BU (4, . . .,

оо)

X (Z, 4), так как гомоморфизм в когомоло­

ненулевым

элементом

группы Я 7 (BSU), но, как известно,

Я 7 (BSU) =

0, поэтому

xxß = Sq31 4. ■