Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

[Допустим от противного, что я'* (Sg2Sgh5) =

0;

тогда

гомо­

морфизм т: Я ? (BSp (6, . .

оо))

Я 8 (К ( Z 2, 5))

=

Z 2 ф

Z 2

яв­

ляется изоморфизмом, так

как

я'* (Sq2Sq1і5) =

я'*

(Sq3ib) = 0.

Следовательно, отображение BSp (6, . . ., оо)

К ( Z 2, 6),

реа­

когомологий, и поэтому я 7

(BSp) -ф 0. Мы пришли к противоре­

чию, так как по теореме

Ботта я7 (BSp) = 0.]

У т в е р ж д е н и е .

Sq2r . . . S q ^ i = f 2 i-i+1

+ (разложи­

мые элементы).

[Для доказательства

рассмотрим отображение

а: ВО -*■ BSp,

= (Sq

«г-2

■■. Sq1w2)i = (ил,г-і+1 -j- разложимые элементы)4, что дает

разложимость класса Sqz . . . S q ^ l — ^ 2 г_1+і •]

оо)). Для дальней­

Теперь можно вычислить Я* (BSp (6, . . ,s

H *(BSp(5,

... , оо)) = Жа[5д7я5| / =

= (0),(1),(2\..., 4), (2\ - --, 2, 1)]

и

Я* (К (Z2,

5)) = Z2 [<SgrL5 I / — допустимые

последовательности,

е(7)<5],

Sq3Sq1x8, Sq5x6, Sq4Sq2x0, SqeSq1xe, SqiSq2Sq1xe],

Рассмотрим

теперь

расслоение

BSp (8, ... , оо)—-—^

—y BS p (6,

... ,

7l"

oo)----- >K(I_2,6). TâK как образующим группы

H a(BSp(6,

. ..,

oo)) ^ Z2 является Sq2xe и так как f* (Sq2xe) = О,

то хх8ф 0 . Таким образом,

хх8 = Sqhe и,

следовательно, с = 1.

Теперь можно вычислить группы Hq (BSp (8, . . ., оо)) в ма­

Рассмотрим

теперь расслоение

BSp (12, . . . ,

•jw

oo)-----

Я'"

Так

как образующим

группы

-+-BSp(8, . . . , o o ) ----- >K{Z, 8).

H12 (BSp(8, .. . ,

o o ))^Z 2 является Sqix8 и так как im* (Sqix8) = 0,

то ххі2ф 0 . Таким образом, xxl2 = Sq6i8 и, следовательно,

е — і. и

Для завершения доказательства предложения осталось только

доказать следующую лемму:

Лемма. Последовательности

S a з

S a 3

■А2/А 2,Sql --->A A A 2S(£----> AAAzSq1

S q '

•A2 ----- >AAAyS q1

S q 2

S q b

Sg3

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

A 2czJè’

2—-подалгебра алгебры

Хопфа, порожденная операциями

Sq1 и Sq3. В

Ж содержится

8 элементов

1, Sq\ Sq*, Sq2Sq1, Sq^Sq'Sq*,

Sq3Sq\

Sq3

Sq*Sq\ Sq*SqK

Рассмотрим последовательности

Sfl3

§o3

Jl'2IJk2Sqx------*■Jt'JJl'zSq1----->Л'2ІЛ'2Sq1

и

Ж ■S<1 ■>Ж /Ж ^З1

S q 2

S q b - \ - S q l S q l

Ж <—— d'JJ- 'ßq1

^'-модулем и коалгеброй,

коумножение в которой есть гомомор­

физм

правых Ж-модулей.

Так как гомоморфизм ѵ: Ж

X

1- X является мономорфизмом, то по теореме Милнора — Мура

имеет

место изоморфизм

правых Ж~м°ДУлей Ж — & ® /2^ 2 -

С л е д с т в и е .

Пустъ \

есть п-мерное векторное расслоение

над X. Если существует класс ориентации

U (£) £ К п (Т|)

{или

U (I)

£ КОп (ТЕ)),

то

для некоторого

числа

т

стабильное

рас­

слоение

I ф т -1,

где 1 — одномерное

тривиальное расслоение,

допускает Spin0 (или

Spin)-структуру.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть п'

— такое

число,

что

п +

+ п'

— 87с. Положим

І' = Е 0 п' Л. Тогда

расслоение

имеет

класс

ориентации

U (Q ® і £ KG8h ((П )

Д S 11') = К&*

(Т\')

{G =

U или О). Пусть /: Г£'

ВG — представитель этого класса

ориентации. Так

как

пространство

является (87с — ^-связ­

ным,

то

существуют

поднятие /: Т^'

BG {8к, . . ., оо) отобра­

жения

/ и вложение

S8k =

Т (слой)

ТЪ,' ->- BG (87с, . . .,

с»),

представляющее образующий

группы

я 8/і (BG).

Класс

/* (х8!і)

является когомологическим классом ориентации U' £ H8'1(У |'; Z),

и поэтому расслоение

ориентируемо.

= О,

Если G — О, то Sq2U' = /* (Sqzx8h) = 0, поэтому w2 (£')

и, следовательно,

расслоение

допускает

Spin-структуру.

Пусть G = U; покажем, что существует целочисленный класс

V £ # 8h+2 (BU (87с,

. . ., оо)), приведение которого по модулю 2

BU (8к + 2, . .

o o )^ B U (87с, . .

оо) -► К (Z, Щ .

В когомологиях слоя существует элемент

£8/і+2 > который при

трансгрессии переходит в иеиулевой класс

порядка

2

группы

Н8к+3 {К (Е, 8к)\ Z).

Значит, группа H8k+2 (BU(8k,

. .. ,

оо); Е)

изоморфна

группе Z с

образующим

ѵ,

который

при

ограничении

на слой переходит в класс

2х8й+2 и

при­

веденный по

модулю 2 равен Sq2x8h. Таким образом, /* (ѵ) =

= л* (x)-U',

где X £ Я 2 (X;

Z) — класс,

приведение которого

туру.

в

З а м е ч а н и е . Класс

ориентации, определенный выбором

Spin0-

или Spin-структуры

в расслоении

может отличаться

вовании

у

векторных

расслоений

классов

ориентации в

KU-

и ZO-теориях.

О п р е д е л е н и е .

Говорят,

что

класс

х £ КО* (X )

(или

К* (X )) имеет фильтрацию ге, если для любого конечного комплек­

са Y

размерности маныпе

ге и любого

отображения /: Y

X

имеет место равенство /* (х)

= .

Если X — конечный клеточный комплекс, то класс х имеет

фильтрацию

ге

тогда и

только тогда, когда г* (х) = 0, где і:

Х п~г

X — вложение

(ге— 1)-мерного

остова

комплекса

X .

Кроме того, если /: X

BG — отображение, классифицирующее

класс

X ,

то X

имеет фильтрацию г е тогда

и только тогда, когда

отображение / поднимается до отображения

в BG (ге, . . .,

oà).

[Это

предполагает, что

х £ KG (X)

имеет

положительную филь­

трацию,

или,

более точно,

ограничение

класса

х на каждую

ние

/:

Y

X.

Пусть

g:

Y -v BGT(re,

. . ., oo), h: Y

BGS (m,

. . ., oo)

— такие отображения, что g* (yr — dimyr) =

= /*

(x),

h* (ys — dim ys) =

/*

(y).

k* ((y r — dim yT) ®

Элемент

/* (xy)

совпадает

с элементом

Пусть

р Ç BGr (п, . .

оо),

q Ç BGS (т, . .

оо) — отмеченные

точки.

Элемент

и = (уг — dim yr) ® (ys — dim ys)

тривиален

надпространством

BGr (п,

. . .,

оо) V

BGS (то,

. .

., оо)

=

=BGr (п, .. ., оо) X ql) PX B&S (т, • • •,

°°), так как (уг —dim уг)

=

= 0

над

р

и

(ys — dim ys) = 0

над

g.

Таким

образом,

и = 7* (у),

где

Â

Б(?г (я, . .

оо) X БА, (то, . . .,

оо)

У

=

=

Б(?г (н,

. .

оо)

Д 5<?s (то, . .

оо)

и и £ AG (F).

Пространство

F

является

(?г +

иг — 1)-связным

[H* (F; F )~ H * (B G r (n,

. .

оо); Б)

® FS*(BG ,{m ,

. . ., оо);

F)

ный по

формуле Ли (I) =

Xf (I — dim £), где и =

ДД ДР • Д ля

последовательности I

=

(ij,

. . .,

іГ) положим я^ (5)

= я]) ( £ ) . . .

. . .

(£). Тогда характеристический класс nrR (|)

имеет филь­

трацию

Т

[ 4гг (А,

если

п (I) =

0 (mod 2),

^("н(І)) =

j 4

„ ( / ) _ 2j

если

п (/) =

1 (mod 2),

где п (I)

— іі + . . .

+

іг, и характеристический класс яд (£) ® С

имеет фильтрацию

4п (/)

в кольце К (X ).

= £ргі (|) . . . <g>iT (£)

Если

характеристический класс

(£)

не равен нулю в группе

н 'іП{-І) (X; Cl)

и если при нечетном п (I)

класс <@>і (£) не делится на 2 в группе

рQA4n(/) (X; Z), TOO указан­