Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

=tPj(£). [Здесь хг—образующий группы H 1(BG(i, ... , сю); я i(BG)).]

Доказательство этого предложения было дано Андерсоном, Брауном и Петерсоном с использованием спектральной последо­ вательности в АГ0*-теории. Предлагаемое ниже доказательство достаточно сложно, но использует только стандартную теорию

реализующее класс у, то существует поднятие /: У BG (п, ..., сю),

и отображение /поднимается до отображения в BG (п + 1, . . ., °°) тогда и только тогда, когда /* (хп) = 0 в группе Н п (Y, яп (G)). Обозначим через [у] подмножество в Н п (Y, яп (BG)), состоящее

из классов /* (хп) для всех возможных поднятий /; элемент у имеет фильтрацию п + 1 тогда и только тогда, когда 0 6 Гг/].

Если G = О, то необходимо рассмотреть четыре случая, зави­ сящие от вычета п по модулю 8.

Случдй I. Допустим, что у Ç КО (Y) имеет фильтрацию 8/с,

следует, что Sq2pJ* (x8h) = /* (Sq2p2x8h) = 0. Итак,'если а Е [у], то Sq2р2а = 0 и pQ(а) + (члены большей размерности) = = ch (у ® С).

Пусть /: У ВО (8к, . . ., оо) — одно из поднятий. Рассмот­ рим диаграмму

К (Z, 8/с—5)

і I

У — > £(?(8/с, .. ., оо)

Я

Б0(8/с —4, ... , оо)

Так как я является главным расслоением, то поднятия/': У ->• ВО (8к, . . ., оо), накрывающие отображение яо/, классифи­ цируются отображениями в К (Z, 8/с — 5), или, что то же самое,

классами х 6 H s h ~ 5 (У; Z). Так как p2 i* (xgA) = i* (p2 x8ft) =

= Sÿ^sA-s» то i* (ZSA) = б^^Рг^А-б (p2 здесь является мономор­ физмом), где ô — целочисленный оператор Бокштейиа. Таким образом, множество [у] является объединением классов смежности по подгруппе &Sqip2Hah~5 (У; Z).

Случай II. Допустим, что класс у £ КО (У) имеет фильтрацию

87: + 1 и /: Y ВО (8к + 1, . . ., °о) — некоторое поднятие, классифицирующее этот класс. Из результатов о Ж2-когомологиях

объединением классов смежности по подгруппе Sq2p2IP h~1 (Y, Z)с=

ем, что множество [у] является объединением классов смежности

Вчастности, если у £ КО (Y ) имеет фильтрацию 8/f + 2 и а в

вГг/] —'Элемент вида /* (^зл+г) Для некоторого поднятия /: V ->-

ВО (8к + 2, . . оо), то элемент Sq2a равен приведенному по модулю 2 целочисленному классу /* (v8k+i) и ch (у (g) С) = = PQ (/* (veft+i)) + (члены более высокой размерности).

Случай IV. Допустим, что класс у 6 КО (У) имеет фильтра­

+ (члены более высокой размерности). Кроме того, множество [у] является объединением классов смежности по подгруппе ôSq4-Plt+1 (У; Z2).

Используем теперь эти факты для доказательства предложения. Рассмотрим сначала оценку сверху на величину фильтрации характеристических классов. Если | — ориентированное вектор­

Таким образом, если ^ /(1 )^ 0 в группе # 4n(I) (X; Cl), то класс

Ял (£) должен иметь фильтрацию не больше 4п (/) и ял (I) ® С также должен иметь фильтрацию -<4п(І).

Если п (/) = 1 (mod 2) и Яя (I) имеет фильтрацию 4п (/) = 8А -)- 4,

то Яя(^) имеет фильтрацию, меньшую 4п(І), т. е. меньшую или равную 4п(І) — 2.

Перейдем теперь к доказательству того, что характеристиче­

ские классы Яя (£) имеют указанную фильтрацию и что с ними связаны указанные характеристические классы в когомологиях, определенные при помощи поднятия. Рассмотрим некоторое рас­ слоение £ над пространством X. Пусть g: X BSO — классифи­ цирующее отображение расслоения £, т. е. g* (у) = £ — dim

где у — универсальное стабильное расслоение. Тогда Яя (і) =

= g*^R (у) I и поэтому требуемые результаты достаточно доказать только в специальном случае, когда X = BSO, а | — универсаль­ ное расслоение. Это можно сделать при помощи детального изуче­ ния структуры пространства BSO. Из предыдущего исследования препятствий к поднятиям ясно, что необходимо знать действия операций Sq1 и Sq2 в группе Н * (BSO; Z2).

Л е м м а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

следующим условиям:

(?о(?і — Q Qot Qï = О

и

Qi (a-b) = Qi (a)-b + a-Qt {b), i = 0,1.

Таким образом, для каждого пространства X можно ввести