Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Л е мм а . Пространство BSO имеет

изоморфные гомологии.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

QtfVi — (і -f-1) гнг+1,

то

H (H* (BSO); Q0) ^ Z 2[(w2i)2]. Кроме того,

Sq2Sq1Wi = (i-\-i)Sq2wi+i = (i + l) [( г^"4 ) wi+3-|- wi+lw2~}

и

Sq1Sq2u>i

Sq1^

j Wt+z + WiWz'j =

= (І +

3) ( i_^ 3 ) Wi+3 + {i + i)Wi+iWz+ WiW3,

следовательно,

QiWi = Wiw3+

p + 3) (i+3) (i+2) +

(i+ 1) (f+4) (i+ 3)-

=

WiU!3 +

[i2+

5i +

6 +

i2+ 5i -+-4] !/>i+3 =

=

u>iW3-f- (i -f 3) (i2-f 5г +

5) • wi+3 =

=

W iW 3 +

(i + 3 ) w i+3.

В частности, Q\W2i — w2i+3+ m2iio3,

QiW3 = wl и, следовательно,

H* (BSO) ^ Z2 [и;2г, QiWzi] !g> Z2 [w3]. Таким

образом,

H (H* (BSO)', Q J ^ Z z K w z in

Тогда Z2 [(u72i)2] ci ker Q0f| kerÇi,

и поэтому гомоморфизмы kt

являются

эпиморфизмами для всех

і = 0,

1.

рав­

Предположим

теперь, что х £ (ker Q0 Г) ker Qi)n и ср0 (х)

и

поэтому X

£ im Q0 f) im ÇiПусть

п = 0 (mod 4). Тогда

х =

=

Qm + / ((w2j)2),

где / — полпном

над Z2. Так как

х =

Q0z,

то / ((w2j)2) =

Q0z +

Qm, но im Q0 +

im QLсодержится

в идеале,

этому X =

Qi]j = ÇoZ Ç im Qo П im Çj. Таким образом,

ker ф0 =

= im Qo П

im (Д.

im Qi)

Итак,

гомоморфизм Я,0: (ker Q0 f| ker (Д)/(іт Q0 f|

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

проекцию

л:

М ~*~

М /ЕМ =

N. Тогда я (ker Q0) = я (ker Q0f| ker Qi) =

я (ker QQ.

[Если

Qid =

0, то существует элемент Z£ ker Çoflker Qit

такой,

что a +

Z= <2;£>, и, таким образом, л (я) = я (Z) £ я (ker (?0 П ker Çi).j

Пусть

L a

ker (Z0f|ker Qt — подгруппа,

такая, что

я:

L

->- я (ker Qo П ker Çj) является

изоморфизмом. Обозначим через Т

нительное

слагаемое

к

я (L) в N . Тогда гомоморфизм

/:

Е ®

®

(L ® Т )

—у- М:

е

®

(Z, Z)

el -f- e t

является

эпиморфизмом,

индуцирующим эпиморфизм

cp: L ® {Е ® Т)

М.

У т в е р ж д е н и е .

Группа

L en ker Q0 f) ker Qi изоморфно

отображается на H (М).

то существует элемент Z£ L, такой,

[Если a Ç ker Çoflker Qj,

что я (а) =

я (Z), т. е. а = Z+ Q0x +

QiV■Тогда Q{y =

а +

Z+

+

Q0x £ ker Qo f] ker Qi

и Q{y £ im Qi.

Таким образом,

a +

Z+

+

Q0x £ ira Ç0 и

фо (я) = фо (Z),

следовательно,

L отображается

является

эпиморфизмом.

Так

как

ker ф cz ker я,

то ф:

L ^

^

Н (Л/).]

0. Тогда (Zt ((V) = 0 и Q0 (Qot) =

Допустим теперь, что <?0(?Н =

— 0, так

что Qot £ ker Q0f] ker Qi и (Z0Z£ im Q0, поэтому Ç0Z=

=

QiS для некоторого s

(dim s +

3 =

dim t +

1). Итак, Q0QiS =

=

QoQot =

0. Если

dim Z < 2,

то

dim s <; 0,

и поэтому s = 0

и

Qot =

0; следовательно,

существует

элемент

Z£ L,

такой,

что

t

-г Z=

Ç0u. Предположим по индукции, что s = Z+

<20я +

Çi£>,

где Z£ L.

Тогда Q0t — QiS = QiQoa,

так

что

Q0 (Z

+ Çia) = 0,

т. e. Z-f- Qta £ ker Ç0l и поэтому Z+

Qxa = Z' -j- Ç0Z/, где ^

É L.

Таким образом, доказано такое

У т в е р ж д е н и е .

Если Q0Q\t =

0,

то t — I +

Q0a +

Qib

для некоторых I £ L,

a,

b

£ ІИ.

+

Допустим теперь,

что

а =

(Z, 1

® Z+

Ço <8> іа +

Q\ <g> П +

QoQi ® Z2) 6 L 0 (E ®

Г) и ф (я) =

0. Тогда яф (я) = n(Z) +

+

я (Z)

=

0 в группе

я (L) © я (Т),

так

что

я (Z) =

я (Z) = 0.

пах L и

Г,

то Z= Z = 0. Таким

образом, 0 = ф (a) =

Q0t0 +

+

Qiti +

QoQitz,

следовательно, QiQ0to =

<?іф (a) = 0, Q0Qih =

=

ф0ф (я) =

0 и,

согласно предыдущему

утверждению,

я (Z0) £

£ я (L), я (Zj)

£ я (L), ио я (Г) П я (L) =

0. Следовательно, я (Z0) =

=

я (Zi) =

0,

и поэтому

t 0 — Zj =

0.

Тогда

0 = ф (я) =

QoQit2

и,

следовательно,

Z2 £ я

(L) П я (Г),

т. e.

Z2 =

0.

Таким

образом, отображение ф: L © (Е ® Т) -*• М является

изоморфизмом, в

З а м е ч а н и е , ker (QaQi) — cp (L ® {E <g>T)) и

ker Q0f) ker Çj =

= Ф(ЬѲ(<?о<?і ® T)).

Лемма .

Пустъ элемент у£К О (BSO) имеет фильтрацию п.

Предположиму что

ск (р ® C)n = р^р, где

р £ Н п (BSO; Z)

a) если

п = 8к, то

и Sq2р2р = 0;

B) если п = 8к-\-і, то задан класс когомологий р £ Я ” (BSO, Z2),

такой, что Sq2{p) = 0;

c) если п = 8к-\-2, то ch (р (g) C)n+2 = PQ(4)J где qEHn+2(BSO] T)

и Sq*p2q = 0;

то ch(p ® С)п. = р<з(2р),

p £ H n(BSO; Z)

cl) если

n = 8k + 4,

классифицирующее элемент у, такое,

что }*хп — р,

причем

для

л. = 8/с-|-2

дополнительно

имеет

место

равенство /*н8;)+4 =

q.

Д о к а з а т е л ь с т в о . '

Пусть

/: BSO-+-BO(n,

... ,оо) — под­

нятие,

классифицирующее элемент

р,

и пусть f*(xn) —р'.

a)

п = 8к. Положим сс = р —р'. Тогда pQ(a) = 0 и Sq2р2(а) = 0.

Так как pQ(a) = 0,

то а имеет конечный порядок,

и

поэтому

существует элемент

ß 6 Я 8*1-1 (BSO-, Z2),

такой,

что

a = öß

или

р2а = Sq1^. Кроме

того, Sq2р2 (а) = 5g2<S,g1ß = 0.

Таким

образом,

<S'g2(?0ß = 0 и <?o(?oß = 0,

так что (?0(ß)£ker(2or)

flkerÇj,

поэтому

@0ß = 1 + QoQit

и,

следовательно,

()0ß = QoQit

[I ЕВ,

н о

так как

H (Ç0P) = 0, т о

H (Z) = 0].

0 н SqH =

I + Q0u +

+

Тогда QoQiSqH = Sq^oQrf =

»Sg^oß =

Q\V [dim Sq2t =

8k — 2, а группа L равна нулю в этих размер­

ностях, так что I = 0] и, следовательно, Sq2t =

Q0u +

Q{v.

Итак,

Q0Q\t=Sq2Sq2t= Sq2(Q0u -j- Qyu) — Sq2Sq1u + Sq2Sq1Sq2v=

= Sq2Sqx\>, где

у = u + Sq2v. Тогда

0 = Q0Q0Qlt = Q0(Sq2Sqi:y) =

= (?o(?iY>

так что y = l + QoP +

QiQ

[dim у = 8k — 3, и поэтому

I =

0]

и,

следовательно, у = Q0p +

Qtq.

Таким образом, p2a —Q0f>=Q0Qit= Sq2Sq1y= Sq2Sq1(Qop+Qiq) =

= Sq2Sq1Qlq = Sq5Sq1q = p2[ôSqip2hq].

Так

как

р2

является

мономорфизмом

на

подгруппе

элементов

в

конечного

порядка,

то

a = ôSqip2ôq.

Поднятие отображения

ВО {81с— 4,

... ,

со)

до

отображения

в

ВО (87с, . . .,

оо)

можно

изменить,

используя

класс

ôq, и получить

поднятие

/,

такое, что f*{xn) —р '+ а = р.

B)

/г =

87с -j- 1.

Положим а =

р — р';

тогда

Sq2oc =

0.

Qty

Имеем

QoQia = Sq2Sq2a = 0,

так

что

а =

I +

Q0x +

[dim а =

87с + 1,

поэтому

1 — 0]

и,

следовательно,

а

= Q0x +

+

Qiy =

Qo* +

QoSqhy +

Sq2Sqhy.

Если положить а' = а +

Sq2Sq1y =

Q0 (х + Sq2y), то Q0a'

=

= 0 и Sq2а' = 0, так что

а.' — I +

Ç0(?iP [dim а' =

8/с +

1,

поэтому Z= 0] и, следовательно, а ' = (?o(?iß-

Тогда Q0QiSq2ß = <Sg2(Z0(?iß = Sq2a = 0,

так что 5g2ß = Z-j- Q0a -)-

+ Qib [dimß = 8/c— 1, поэтому Z= 0] и,

следовательно,

Sg^ß =

поэтому а = Sq2Sq1 {у -f- a-\-Sq2b). Следовательно,

а = Sq2p2ô (у 4-

+ а + Sq2b). Поднятие отображения в ВО {Sk, .. . ,

ею) до отобра­

ô (у -j- а + Sq2b)

и

получить

поднятие /,

такое,

что /* (хп) =

= р' -|-а = р.

Положим

q' = /* (н8л+4),

так что

5gzp' = p2q'

c)

п = 8к-\-2.

и PQ(q') = ск (р. ® С)п+ 2

= Р<г(ч)- Тогда

q — q' = öß, где

ß —элемент

конечного

порядка. Имеем

Sg2p' = р2 (q') = р2 (q — öß) = p2q-НiS,g1ß.

Итак,

QiSq1^ = Çjp2q +

QiSq2p' = QiSq2p' =

Sq2SqlSq2p' =

= Sg2£g1(p2q+ 8’g1ß) = 0 и ^ 0^g1ß = 0,

так что ^ ß

Çker Q0f] ker Qt

и Sgxß т= Z-f-ÇoÇiY [ZÇL, и,

применяя

гомоморфизм я, получаем,

что

H (Z) = 0]\

Следовательно,

Sq2)?' = p2q -f- 5gxß — p2q 4- QaQiV =

= P2 q -f Sq2Sq2y. Таким

образом,

p2 q = Sq2(p' -j- Sq2y),

и

поэтому

P2q 6 im (<Sg2).

Sq2p —

Пусть p £ H№h (BSO\ Z2) — некоторый класс, т е т к о й ,

ч т о

= p2q, и пусть

а = p '+ *Sg3Y + р. Тогда 5д2а = 0.

Имеем

QoQia = Sq2Sq2a = 0, так что а = Z+ Q0x -)- Qty [dim а --

= 8к + 2, поэтому

Z= 0] и,

следовательно,

a = Q0x + QLy = Q0x + Q0Sq2y + Sq2Sq1y.

Если

положить cc' = a-\-Sq2Sq1y —Q0x-\-QaSq2y,

то

Ç0a '= 0

и Sq2a ' —0, так

что

a' = l-\-Q0Ql z

[dim а' = 8к + 2,

поэтому

1 — 0]

и, следовательно, a.'= Q0Qiz-

Sq2Sq2z = p' -f-

Таким

образом,

р = р' +

Sq2у + Sq2Sq1y +

-\-Sq2{y-\-Sq1y^-Sq2z). Поднятие отображения в ВО (8/с + 1,

. . ., оо)

до отображения в ВО{8к-\- 2,

. . . ,

оо) можно изменить при помощи

мом на подгруппе элементов конечного

порядка, поэтому а = 0

и,

следовательно,

/* (yÿi+4) = Т

а

d) п = 8/е-}-4.

Положим

а ~ р —р'; тогда pQ(cc) —0, и поэтому

является элементом конечного порядка. Следовательно, a = öß.

Так как

£ç5p2(ct) = 0,

то iS'g5iSg1ß =

= 0.

Тогда

<2o<?iSg2ß = 0,

так

что

Sg2ß = Z-f- Q0u -f- QM [dim£g2ß =

= 8Zc + 5,

поэтому Z= 0]

и,

следовательно, &g2ß — Ç0n.-(-фщ.

= I + QoQit

[применяя гомоморфизм я, получаем я (/) = 0] и, сле­

довательно,

(?0ß = 5g3g+ SqsSq4 = p265g2 (q + 5g4).

Так как

р2 является мономорфизмом на подгруппе элементов

F (ян (ѵ)). Е с л и число

п (I) нечетно, то

5g3p2 ($>і) = Sg3 (ivzi) = 0,

и можно выбрать поднятие /,

такое,

что

5g2/* (хітнп_2) = р2 (Wi)-

Если число

п(І) четпо, то 5д2р2£ Р / 0, но /* (xilUI)) = f i

+ Sß Для

некоторого

поднятия

/. Тогда <j0p2Sß = 5g15g1ß = 0 и

(^p^ß =

= 5g3p26ß = 5g3p2/*(x4n(/)) + 5g3pg)j = 0.

Таким

образом,

p2öß =

= QoQia для некоторого а

или

öß = 65g25g1a.

Следовательно,

класс f* (x4JUi)) равен

+ 8Sq2Sq1a,

где а — полином от

классов

Штифеля — Уитни.

мента Я, (gi С не меньше фильтрации элемента Я. Пусть

Я £ КО (X )

имеет

фильтрацию 8/c-j-2 и

/: Х-+ВО (8к + 2,

.. . , оо) — отобра­

жение,

классифицирующее

элемент

Я.

Обозначим через

и: ВО(8к-\-2,

.. . , оо)->-BU (8к + 2,

.. . ,

оо)

отображение, класси­

фицирующее

расслоение у <g>С.

Так

как

H sh+2 (ВО (8к -|-

+ 2, . ..,oo);Z) = 0 [5дхх8й+2 Ф 0,

поэтому

х8ц+2 не

является

до отображения в B U (8Я+ 4, .. . ,

оо). Таким образом, отображение

u ° f

поднимается до отображения в BZ7(8k + 4, . . . , оо)

и, следо­

вательно,

элемент Я (g> С

имеет

фильтрацию

не меньше Sk -j- 4.

Из

этого

вытекает,

что

класс

Яд (у) ® С

имеет фильтрацию

не меньше 4п(І).

/: BSO

BU (4п(/), . . . , о о ) ,

класси­

Пусть

задано поднятие

фицирующее элемент

яд (у) <g>С.

Имеем:

ch (яд (у) <g>С) ~

= рQf* (хіп(І)) + (члены

более высокой размерности) — pQ((pz) -f-

= $>r + öß для некоторого

ß. Так

как обе

операции 5g1 и

5д3

аннулируют элементы Рг/* (хіп(І))

и р2$р/,

то

p2öß = 5g*ß £ ker Ç0 f|

П ker

и, следовательно,

5g*ß £іш£У?і-

Таким образом,

öß =