Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Неіи., 28 (1954), 17—86. [Русский перевод: сб. «Расслоенные простран­

ства п их приложения», ИЛ, М., 1958, стр. 293—351.]

3.Les classes caractéristiques de Pontrjagin des variétés triangulées, Sym­ posium Internacional de Topologia Algebraica, Mexico, 1958.

4.Travaux de Milnor sur le cobordisme, Séminaire Bourbaki, 1958—1959, Paris.

Уайтхед Дж. Г. (Whitehead J. H. С.)

7.Addendum to a paper of Conner and Floyd, P r o c . C a m b . S o c . , 62 (1966),

171—175.

Хирцебрух (Hirzebruch F.)

•1. Komplexe Mannigfaltigkeiten, Proc. Int. Cong. Math., 1958, 119—136. [Русский перевод: Международный математический конгресс в Эдин­ бурге, 1958 г. (Обзорные доклады), Физ. Матем., Л— М., 1962, стр. 138— 157.]

2.Topological Methods in Algebraic Geometry, Springer, Berlin, 1966.

[Русский перевод: Хирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраи­ ческой геометрии, «Мир», М., 1973.],

Хирш (Hirsch М.)

1. Immersions of manifolds, T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . , 93 (1959), 242—

276.

Хо (Ноо С. S.)

1.Remarks on the bordism algebra of involutions, Proc. Amer. Math. Soc.,

17 (1966), 1083—1086.

Ходжкпи (Hodgkin L.)

1. Äi-theory of Eilenberg — Maclane complexes, I—II (multilithed notes), Institute for Advanced Study, Princeton, N.J. (about 1965).

Ходжкпи, Андерсон (Hodgkin L., Anderson D. W.)

1.The X-thcory of Eilenberg — Maclane complexes, Topology, 7, № 3 (1968),

317-329.

Хыозмоллер (Husemoller D.)

1.Fibre bundles, McGraw-Hill Book Company, New York, N.J., 1966. [Русский перевод: Хыозмоллер Д., Расслоенные пространства, «Мир», М., 1971.]

Чанг, Уолл (Hsiang W. С., Wall С. Т. С.)

1.Orientability of manifolds for generalized homology theories, Trans. Amer. Math. Soc., 118 (1965), 352—359.

Эйленберг (Eilenberg S.)

1. On the problems of topology, Ann Math., 50 (1949), 247—260.

Д О Б А В Л Е Н И Е

Н О В Ы Е М Е Т О Д Ы В Т Е О Р И И К О Б О Р Д И З М О В

В. М. Бухштабер

Предисловием к настоящему добавлению может служить та часть предисловия переводчика, в которой говорится о формаль­ ной группе геометрических кобордизмов. Необходимо лишь еще раз подчеркнуть, что характерной особенностью новых методов является то, что они для изученпя групп кобордизмов сущест­ венно попользуют специфические свойства теорий кобордизмов.

Отметим, что в список литературы мы, помимо цитированных работ, включили еще обзоры и книги по теме добавления. Ссылка на работу, вошедшую в список литературы только к добавлению, дается при помощи номера со звездочкой.

§ 1 . Э л е м е н т ы т е о р и и ф о р м а л ь н ы х г р у п п

В этом параграфе пзлагается теория формальных групп в том виде, в каком она далее будет использоваться в теории кобордиз­ мов. Все приводимые результаты принадлежат Лазару [1*], но метод доказательства пх существенно отличается от методов Лазара. Элементарным методам теории чисел мы предпочли методы гомологической алгебры, так как они вскрывают идейную сторону вопроса и более перспективны, см. Бухштабер [2*].

Пусть А — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, А Ixj, . . ., хп\ — кольцо полиномов от жь . . ., хп с коэффи­ циентами в А я А [[ж1; . . ., хп]] — соответствующее кольцо сте­ пенных рядов.

О п р е д е л е н и е . Коммутативной одномерной формальной группой над А называется степенной ряд F (х , у) ^ А [[ж, г/]], такой, что 1) F (х, 0) = х (нормировка), 2) F (F (ж, у), z) = = F (ж, F (у, z)) (ассоциативность) и 3) F (х, у) = F (у, х) (ком­ мутативность).

Заметим, что из условия F (х, 0) = х вытекает существование «обратного элемента» Ѳ(х) Ç А [[ж]], такого, что F (х, 0 (ж)) = 0.

О п р е д е л е н и е . Гомоморфизмом формальных групп ф:

G-+ F над кольцом А называется формальный ряд ф (х) 6 € А [[ж]], такой, что ф (G (ж, у)) — F (ф (ж), гр (у)). Если ф (ж) =

ai, j. Коэффициенты aif j являются однородными полиномами степени 2 (і + / — 1) от образующих Ь„, поэтому Л 0 — градуи­ рованное подкольцо в В.

Обозначим через = У^В™ факторкольцо кольца В = 2 В" по идеалу, порожденному элементами, разложимыми в произве­ дение по крайней мере двух элементов положительной степени,

зующим я (&„) подгруппа я (Л") изоморфна группе Z с образую­ щим т (п) я (Ьп), где т (п) — наибольший общий делитель чисел

торого простого р и целого g, и ттг (?г) = 1 для остальных п.) Отме­ тим, в частности, что вложение Л0 а В индуцирует изоморфизм

Л0 ®<О-^.б®С><.

Те о р е м а 1.2 (см. Лазар [1*]). 1) Кольцо Л 0 является коль­ цом полиномов над TL от бесконечного числа образующих.

2) Формальная группа F0 (х , у) над кольцом Л 0 является универсалъной.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим градуированное кольцо полиномов Е = Z [а;, j, і > 0, / > 0], cleg а,-. = 2 (i -|- / — 1),

дуированное факторкольцо кольца Е по идеалу, порожденному

коммутативная формальная группа над произвольным кольцом Л . Рассмотрим гомоморфизм а\ Е Л, а (ос,-, Д = at, j. По построе­ нию кольца Е о, гомоморфизм а разлагается в композицию гомо-

Л

морфизмов Е —э- Е 0-^- А, т. е. формальная группа е0 (х, у) над кольцом Е о является универсальной одномерной коммутативной формальной группой. Таким образом, для доказательства теоремы