Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Z-модулем, то структура £*-модуля в кольце Z определяет струк­ туру Т*-модуля в кольце Ат, которую мьт и зафиксируем в N.

с нулевым свободным членом. Поэтому, применяя функтор Hom£|1Ite( , N) к резольвенте (1.5), получаем комплекс

N [x] -А А [х, у]Д.1Ѵ [х, у, z].

однородные полиномы степени 2п. Из формулы для гомоморфизма

T . e. соотношению Лазара. Таким образом, задача классификации полиномов Лазара эквивалентна задаче вычисления группы ker d* в комплексе (1.6). Заметим теперь, что имеет место точная после­ довательность

Аддитивный базис градуированного кольца N [х] образуют эле­ менты x", n > 0, поэтому группа im d* как A -модуль имеет обра­ зующими полиномы (х + у)п — х" — yn, п > 0. Напомним, что трупы Extx,» (Z, N ) когомологий копмплекса (1.6) не зависят от

выбора резольвенты, поэтому для вычисления группы ExtL* (£, N) можно применить аппарат гомологической алгебры.

Об остальных случаях.

До к а з а т е л ь с т в о . Так как кольцо N является Zp-мо-

дулем, то имеет место изоморфизм ExtL*] (Z, N) SË ExtL* (Zp, N),

Ѳ: С -> Lp, Ѳ (Cg) = xpg. Так как в кольце Lp имеет место формула

In + иг\

zn;rm = 1 Рп+тп’ то из свойств биномиальных коэффициентов

легко следует, что гомоморфизм Ѳкорректно определен и является изоморфизмом градуированных локально конечных колец. Таким образом, ExtL*(Zp, N) ^ Extc (Zp, N). По теореме Кюннета*

о когомологиях тензорного произведения комплексов получаем теперь, что

Для поля Zp как модуля над кольцом Cq минимальная резольвента имеет следующий простой вид:

где Cg — одномерный Сд-модуль с образующими us и гомомор­ физм ds задается формулой d2i+1u2i+± = cquzi, dziu2i = cf_1u2i_i. Применяя функтор Homcg( ; N), получаем комплекс с нулевыми дифференциалами

іѴ„ ■N,- —>N S ^ H N S

где N s — одномерный 1Ѵ-модуль. Следовательно, Extfcg(Zp, N) = = Ext^P9(Z, N) s* N, Ext£g (Zp, N) = Ext^p9+1(zp, N) as N.

Подставляя значения этих групп в формулу (1.8), получаем дока­ зательство леммы. ■

Обозначим через Ьп (х , у) целочисленный полином

~(п)---- Ясно, что Ln (X, у) является полиномом Лазара.

С л е д с т в и е . Если кольцо N является '£ѵ-модулем, то любой полином Лазара h (х, у) степени п > 1, удовлетворяющий усло­ вию h (х, у) = h (у, х), имеет вид ХЬп (х, у), где X £ N.

и поэтому группа (кет d*)2n как ІѴ-модуль порождается полино­ мом Лазара Ьп (х, у) = d*xn. Если п — р‘1, то (im d*)2n = О, следовательно, (ker d*)2n ^ Ext2;*2'1(Z, N) 9^ N, и поэтому группа

порождается полиномом Лазара Ln (х, у) = d*x11. В качестве образующего ІѴ-модуля Ext2^2n(Z, N) можно выбрать полином

хРТур\ но так как г > t, то этот полином ие удовлетворяет усло- ^ вию h (х, у) = h {у, х). ■

Возвращаясь теперь к кольцу Еь получаем, что имеет место

нулю, то можно считать группу Е* кольцом (тривиальным), по­

чаем, что для любого простого р кольцо Е\1® Zp является одно­ мерным Zp-модулем с образующим X. Так как группа Е\ является конечно порожденной, то из этого вытекает, что группа Е\ изо­ морфна группе Z. g

Теперь мы можем закончить доказательство теоремы 1.2. Обо­ значим через ek, к > 0, образующие группы £ { ^ £ и через ak — элементы кольца Е 0, такие, что я 0 (ah) = eh, где я 0: Еа->- Ех — каноническая проекция. Рассмотрим кольцевой гомоморфизм у: В = Z [fej, . . ., б„, ... ]- >- Е о, у (Ьь) — ah. Так как элемен­

ты ah порождают все кольцо Е 0, то гомоморфизм 7 является эпи­

Для любого простого р обозначим через А р = 2 А ![ градуиро­ ванное кольцо Zp [аь і > 0 , і ф ps — 1 ] от бесконечного числа образующих аь где cleg at = і, если р = 2 , и cleg at = 2 і, если

собами. Во-первых, смоделировать доказательство теоремы 1.2, заметив в нужный момент, что из условия Ы р = 0 следует, что при п = pq коэффициент X при полиноме Лазара Ln (х , у) равняет­ ся нулю по модулю р. Во-вторых, получить теорему 1.10 в каче­ стве следствия теоремы 1.2. Мы применим второй способ, так как он позволяет попутно получить важную информацию о том, как кольцо А о вложено в кольцо В.

универсальной для формальных групп, удовлетворяющих усло­

Теорема будет доказана, если мы покажем, что гомоморфизм у является изоморфизмом. Рассмотрим композицию гомоморфизмов