ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 200
Скачиваний: 0
198 |
Глава |
4 |
|
Тогда |
Д(0) = |
1, |
(4.5.26) |
|
|||
|
С0 — 1- |
(4.5.27) |
|
Подстановка выражения (4.5.25) в (4.5.24) с учетом (4.5.27) дает
С г = ~ | Р 3 |
(4-5.28) |
при и — 0. Сравнение коэффициентов при и3 в уравне нии, полученном после подстановки выражения (4.5.25) в (4.5.24), приводит к следующему рекуррентному соот ношению для коэффициентов:
C2v— |
Р2 |
(C2v_4 ■С,2 v -2 ) |
при v ^ 2 . (4.5.29) |
(2v)2 |
Если (3 известно, то задача решена. По собственное значе ние р должно быть определено из уравнения
R (1) = 0, (4.5.30)
которое следует нз граничного условия (4.5.22).
Решить эту задачу о собственном значении можно лишь численно с помощью вычислительной машины. Имеется бесчисленное множество решении уравнения (4.5.30). Их отличают друг от друга при помощи индексов, припи сываемых р и 7?. Решение физической задачи получают как суперпозицию всех собственных решений. Функцию 0 можпо, таким образом, переписать для наиболее общего случая в впде
0 = V Л^Л11(н )в -(“/ Л о < 1. |
(4.5.31) |
ц=0 |
|
Вычисление собствеппых значелпй (3^ высокого порядка представляет довольно сложную задачу. Ряд (4.5.25) схо дится не очень быстро. Коэффициенты C2v возрастают до огромной величины, прежде чем начнут уменьшаться. Оказалось возможным получить решения задачи о соб ственных значениях только до Р8 даже с использованием двойной точности, так как коэффициенты росли до вели чин порядка 1020, тогда как величина R (и) не превосхо дила единицы. По этой причине возникла необходимость применить разложение в ряд R (и). Разложение (4.5.25)
|
|
|
Л низы |
|
199 |
||
можно |
использовать |
при |
0 ^ и ^ 0,5. |
Произведения |
|||
C2vu2v остаются |
при |
этом |
в |
разумных |
пределах. Если |
||
и > 0,5, |
то нужно ввести новую переменную |
|
|||||
|
|
|
w = 1 |
- |
и |
|
(4.5.32) |
и воспользоваться разложением |
|
|
|||||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
Л (« )= |
2 |
Dvw'\ |
|
(4.5.33) |
|
|
|
|
|
v=0 |
|
|
|
Дифференциальное уравнение для R, выраженное через |
|||||||
переменную w, |
плюет вид |
|
|
|
|
||
( 1 - И О - 0 - - ^ + Р 2( 2 « ; - 3 ^ + < ) Я := 0 . |
(4.5.34) |
||||||
Уравнение (4.5.30) теперь записывается как |
|
||||||
|
|
/? = 0 при w = 0 |
|
(4.5.35) |
|||
и приводит к условию |
|
|
|
|
|||
|
|
|
D о = |
0. |
|
(4.5.3В) |
|
Подставляя (4.5.33) в (4.5.34), получаемрекуррентные соотношения
Пз= 4 А - |
(4.5.37) |
^ = ( t ~ b-PsK |
|
■ ® v= v ( v _ i ) ' U v — l ) 2 ^ v - i — P2 ( 2 £ \,- з — 377v_4 + |
Z)v_5)]. |
|
(4.5.38) |
Собственное значение [3 и коэффициент D{ должны теперь выбираться так, чтобы функция, представленная рядом (4.5.25), и ее первая производная были непрерывны. Эта трудная задача может быть решена при помощи электрон ной вычислительной машины [34]. Результаты вычислений собственных значений, первой производной R' функции
R (и) |
при и = 1, а также производной OR/dfi при и = 1 |
и (3 = |
Рн приведены в табл. 4.5.1. |
200 |
Г.ииш 4 |
Таблица 4.5.1
Решения задачи о собственных значениях, производные функции 1{^(и) при н = 1 , а также ее производные но собственному значению Ji, вычисленные при « — 1 и р = Рц
|
Рд |
|
бр |
IV |
|
|
ц |
||
|
|
|
|
U =г 1) |
0 |
2,70436 |
-1,01430 |
-0,50090 |
|
1 |
6,67903 |
1,34924 |
|
0,37146 |
2 |
10,67338 |
-1,57232 |
-0,31826 |
|
3 |
14,6711 |
1,74600 |
|
0,28648 |
4 |
18,6699 |
-1,89090 |
-0,26449 |
|
5 |
22,6691 |
2,01647 |
|
0,24799 |
G |
26,6686 |
-2,12814 |
-0,23491 |
|
7 |
30,6682 |
2,22038 |
|
0,22485 |
8 |
34,6679 |
-2,32214 |
-0,21548 |
|
9 |
38,6676 |
2,40274 |
|
0,20779 |
10 |
42,6667 |
-2,48992 |
-0,20108 |
|
11 |
46,6667 |
2,56223 |
|
0,19516 |
12 |
50,6668 |
-2,64962 |
-0,18988 |
|
13 |
54,6668 |
2,70216 |
|
0,18513 |
14 |
58,6668 |
-2,76421 |
-0,18083 |
|
Функции R lt (и) трех первых порядков и обряжены па фиг. 4.5.2. Для определения коэффициентов А (1 разло жения (4.5.31) необходимо иметь соотношение ортогональ ности функций R v (;/). С помощью дифференциального уравнения (4.5.24) можно доказать, что имеет место сле дующее условие ортогональности:
|
1 |
|
|
|
[ и (1 — и2) Rtl(i/) Rv(u)du = 0 |
при |
(4.5.3U) |
|
о |
|
|
Условие нормировки функций R следует из интеграла |
|||
j |
и (1 - и2) R * (и) clu= ~ ( |
dli,L ) u=i |
(4.5.40) |
О |
“ ^ |
Р -Ц„ |
|
Л низы |
201 |
г/а
Ф л г. 4.5.2. Графики функций |
(г/а) трех периых порядков [31]. |
Коэффициенты разложения в (4.5.31) могут быть полу чены из условия Т — Т0 при z = 0. Температура газа Т 0 на входе не зависит от и. Это условие на входе дает
0 = — 1 при z= 0. |
(4.5.41) |
202 Глина 4
Из формул (4.5.41) п (4.5.31) получаем коэффициенты раз
ложения с помощью |
соотношений (4.5.39) и (4.5.40): |
I ( |
1 |
^ и (1 — U-) Д ц ( и ) й н = |
|
2Рм \ 9Р да ) и= [ |
о |
р=рв |
|
|
(4.5.42) |
Вычисление интеграла было проведено с помощью диф ференциального уравнения (4.5.24). Коэффициенты раз ложения равны
Ав |
(4.5.43) |
Производные от функции R по собственному значению приведены в табл. 4.5.1. Распределение температуры внут ри газовой линзы получаем теперь из формул (4.5.20), (4.5.31) п (4.5.43):
T = TW+ 2(TW- T 0) 5 К Д н )х
|
в—о |
|
X [ (V ( d i y s p y i , |
в- (а/аЧ > У . |
(/,.5.44) |
р у |
|
|
Этот ряд хорошо сходится при положительных значениях z. Из табл. 4.5.1 видно, что значения очень быстро воз растают с ростом и. Экспоненциальная фупкцня в (4.5.44) быстро становится исчезающе малой и ею можно пренеб речь везде, за исключением нескольких первых значений (1 . Ряд медленно сходится только при 2 = 0.
Данное рассмотрение дает возможность получить при ближенное решение задачи о тепловом потоке в газовой линзе. Распределение температуры внутри газовой линзы показано на фиг. 4.5.3 для нескольких значений нормиро ванной длины вдоль трубы. Хорошая сходимость ряда (4.5.44) становится очевидной, если учесть, что при az/a2v0 — 0,043 экспоненциальные множители в разложе нии равны 0,73; 0,147; 0,0075; 0,000090 и т. д. Это говорит