Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

ТРАЕКТОРИЯ ЛУЧА

После того как установлено температурное распреде­ ление внутри газовой линзы, можно перейти к определе­ нию ее оптических свойств. Основываться будем па урав­ нении параксиальных лучей (3.2.19). Поскольку показа­ тель преломления газа весьма близок к единице (для воз­ духа п — 1,000293 при 20° С), то положим в левой части уравнения (3.2.19) п = 1. Используя цилиндрические коор­ динаты г, ф, 2 и принимая, что для траекторий лучей, падающих параллельно оптической оси, отсутствует зави­ симость от ф, получаем с хорошим приближением

d ~ r __дп

(-1.5.45)

Показатель преломления дается выражением (4.5.7). Для случая малых температурных перепадов можно написать

Формулы (4.5.47) и (4.5.44) могут быть использованы для получения траекторий параксиальных лучей, проходя­ щих через газовую линзу. Вследствие сложного вида тем­ пературного распределения аналитическое решение уравпепня (4.5.47) получить невозможно. Для того чтобы опре­ делить свойства линз исследуемого устройства, необходимо обратиться к численным решениям, полученным с помощью вычислительной машины [34].

Свойства газовой линзы определяются двумя величина­ ми. Как и в случае обычной линзы, необходимо знать фокусное расстояние. Однако в связи с протяженной физической длиной газовой линзы необходимо добавить еще один параметр, для того чтобы полностью охарактери­ зовать ее свойства. Оказывается, что газовую линзу можно приближенно считать тонкой, хотя она имеет значитель­ ную длину. Однако эта эквивалентная тонкая линза не будет плоской и должна иметь кривую поверхность

с круговой симметрией. В теории толстых линз использу­ ется концепция главных плоскостей для описания свойств

Г л а в н а я п о в е р х н о с т ь Р+

/Подогреваемая т руба

линз такого рода [1, 15]. Мы воспользуемся этой концеп­ цией для описания газовой линзы, но вместо главных плос­ костей будем рассматривать главные поверхности. Опре­ деление главных поверхностей дано па фиг. 4.5.4 н 4.5.5.

Ф и г. 4.5.5. Определение второй главной поверхности в газовой линзе в случае, когда спет распространяется навстречу газовому потоку.

Газовый поток направлен слева направо. На фиг. 4.5.4 изображен луч света, падающий слева параллельно опти­ ческой оси. Его истинная траектория внутри линзы не по­ казана. Траектория входного луча продлена внутрь линзы прямой пунктирной линией. Выходной луч впутрп лпнзы

2l)li i'.iami i

изображен другой п]шмой пунктирной линией. Пересече­ ние этих двух линий определяет одну из точек главной поверхности Р+. Совокупность точек, определяемых с по­ мощью всех возможных входных лучей, параллельных оптической осп, но лежит в одной плоскости. Нахождение этой главной поверхности является одной из задач при численном решении уравнения (4.5.47). Другая главная поверхность Р_ показана на фиг. 4.5.5. Ее определение идентично определению Р+, но падающий луч входит в лин­ зу справа навстречу газовому потоку параллельно опти­ ческой осп. Вовсе не обязательно, чтобы обе поверхности Р+ п jР_ совпадали. Их несовпадение фактически указы­ вает на наличие оптической толщины у газовой линзы. Если же обе поверхности совпадают, то для того чтобы проследить за ходом луча через линзу, оказывается доста­ точным одной главной поверхности. В этом случае линза является оптически тонкой. Топкая линза в разд. 4.2 рас­ сматривалась как плоская. Траектории лучей находились путем преломления каждого луча в точке пересечения его с плоскостью на величину, которая зависит от фокусирую­ щей способности линзы. Можно аналогичным образом

у линзы две главные поверхности, то ход лучей, падаю­ щих параллельно оптической осп, можно проследить, преломляя их па соответствующих главных поверх­ ностях. Если у линзы только одна главная поверхность, то нмепио на пей должен быть преломлен каждый луч; пайти траекторию луча, прошедшего через газовую линзу, не труднее, чем определить ее в случае обычной тонкой линзы при условии, что известна форма главной поверх­ ности. Действие газовой линзы можно, с другой стороны, описать с использованием фокусного расстояния. Как показано па фиг. 4.5.4 и 4.5.5, фокусное расстояние измеряется от той точки, в которой лучи пересекают глав­ ную поверхность. Если имеются две различные главные поверхности, то не удивительно, что для описания свойств

тонкой линзой. Обе ее главные поверхности почти совпа­ дают, и поэтому фокусные расстояния /+ и /_ близки друг

к другу. Численное решение уравнения (-1.5.47) дает поло­ жение и наклон лучей в том сечении, где они покидают линзу. Геометрическое место точек главной поверхности Р+ определяется соотношением

г'± (0) и r'± (L). Таким образом, фокусные расстояния равны

Главпые поверхности определяются теперь соотношениями

ственно вправо н влево. Плоскость z = 0 совпадает с вход­ ным сечением газовой линзы (левый конец трубы). Выбор знака диктуется тем обстоятельством, что rV (L) < 0,

а г1 (0) > 0.

Для того чтобы иметь возможность оперировать с без­ размерными величинами, введем некоторые нормирован­ ные параметры. Для этой цели полезным является пара­

Поскольку здесь показатель степени экспоненциальной функции должен быть безразмерной величиной, то ясно,

что V имеет размерность скорости. Важно помнить, что величина V пропорциональна длине газовой линзы. Кроме того, этот параметр определяется также теплопровод­ ностью к и удельной теплоемкостью ср применяемого газа, а также размером поперечного сечения линзы. В связи с тем, что координата z входит в формулу (4.5.44) в виде комбинации

удобно выразить уравнение лучей через эту координату. Учитывая выражение (4.5.21), получаем из (4.5.47)

Это уравнение содержит только безразмерные величины и поэтому может быть использовано для численного рас­ чета. Из формул (4.5.44) п (4.5.56) видно, что константа

является еще одним безразмерным параметром, исполь­ зуемым для расчета линзы. Он содержит информацию о длине и поперечном сечении линзы, а также о показателе преломления газа и температуре нагреваемой трубы.

Результаты численного решения рассматриваемой зада­ чи о газовой линзе приведены на нескольких фигурах. На фиг. 4.5.6 представлены графики зависимости нормиро­ ванного фокусного расстояния газовой линзы для лучей, весьма близких к осп линзы (г+ (0)/'а = 0,1), от нормиро­ ванной скорости газа. Наиболее замечательным свойством этих кривых является наличие минимума. Тот факт, что существует оптимальная скорость газа, при которой фокус­ ное расстояние короче, чем при любой другой скорости, можно легко объяснить. Рассмотрим сначала газовую лин­ зу, в которой газ неподвижен (v0 — 0). В этом случае газ в трубе прогрет до температуры трубы. При одинаковой температуре газа линза не фокусирует (/ = оо). При проте­ кании газа через линзу устанавливается некоторое темпе­ ратурное распределение между началом и концом труоы. Однако в случае очень малых скоростей газ успевает пол­ ностью прогреться, прежде чем достигнет конца трубы,