Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

значение. Изображение этого точечного источника сле­ дует из формул (4.6.3) и (4.6.4):

Для исследования предельного случая, при котором два объекта возможно разрешить, нужна по крайней мере еще одна точка в плоскости объекта. Однако дальнейшее услож­ нение задачи излишне. Используя аргументацию Рэлея, можно сказать, что вторая точка не должна лежать настолько близко к первой точке, чтобы оба изображения полностью накладывались друг иа друга. В качестве прак­ тического критерия можно допустить, что два объекта распознаются как различные, когда максимум поля изо­ бражения, созданного одним объектом, приходится иа пер­ вый пуль дифракционной картины, представляющей изо­ бражение другой точки. Поскольку размеры изображения и объекта в рассматриваемом устройстве одинаковы (увеличение отсутствует), то можно сделать вывод, что изображения двух объектов являются разрешенными, когда два объекта разделены (Аи = Аю) по крайней мере в соответствии с условием

Чтобы можно было воспользоваться этим результатом, необходимо перейти к обычным пространственным коор­ динатам, используя формулы (4.3.28) и (4.3.29):

(4.6.7)

(4.6.8)

Разнесение объектов выражается через реальную коор­ динату х с помощью Ах: величина а есть полуширина апер­ туры в плоскости преобразования Фурье. Используя соот­ ношение (4.6.6), получаем критерий Рэлея для предельной разрешающей способности различения двух точек:

(4.6.9)

Критерий Рэлея можно выразить через угол а, под кото­ рым луч приходит в точку изображения:

(4.6.10)

Использование приближения aij — а является логичным, так как вывод был основан па теории дифракции в пред­ положении малых углов. За исключением множителя (2я)-1, соотношение (4.6.10) совпадает с критерием разре­ шимости (4.2.11). Поскольку критерии для разрешения изображений в обоих случаях не идентичны, то совпадение между этими двумя формулами близко настолько, насколь­ ко это можно было ожидать.

Критерий Рэлея полезен для оценки величины разре­ шающей способности, которую можно достичь с помощью прибора, формирующего изображение. Множители V2 или 1/4л, появляющиеся в этих выражениях, не являются существенными. Важным является то, что предельная раз­ решающая способность по порядку величины равна

A,/sin а или Xf/a.

В последние годы в технических журналах стали появ­ ляться статьи, оспаривающие тот факт, что рэлеевский предел представляет непреодолимый барьер для возмож­ ности разрешения изображений. Эта точка зрения недавно была отражена Гудманом в его книге по фурье-оптике [7]. Аргумент приводится следующий. Фурье-преобразоваиие поля объекта конечных размеров является аналитической функцией. Даже когда из-за наличия апертуры (реальной пли эффективной) в плоскости преобразования использует­ ся лишь часть этого фурье-преобразовапия, можно восста­ новить всю функцию. Можно полностью построить анали­ тическую функцию, если известна функция в малой окре­ стности точки. Это вытекает из того факта, что любая ана­ литическая функция может быть выражена степенным рядом по крайней мере в конечной области. Знание функ­ ции и всех ее производных в одной точке можно распро­ странить на область, определяемую радиусом сходимости степенного ряда. Зная функцию и ее производные вблизи границы области сходимости, можно определить новые коэффициенты и получить новый степеппой ряд, который расширит область определения функции. Таким образом,

220 Глава 4

по значениям аналитической функции в малой первона­ чальной области можно построить вето эту функцию. Этот процесс известен как аналитическое продолжение [38].

Критики критерия Рэлея утверждают, что, поскольку преобразование Фурье (аналитическая функция) изобра­ жения конечных размеров известно в ограниченной обла­ сти, можно построить полное преобразование Фурье с помощью аналитического продолжения и, таким обра­ зом, по рэлеевскому пределу полностью восстановить изображение объекта с любой степенью точности.

Математически этот аргумент является строгим. Имеют­ ся и другие вполне строгие положения, которые, однако, невозможно реализовать на практике. Рассмотрим, напри­ мер, сигнал, переданный удаленным радиопередатчиком. Игнорируя квантовую природу излучения, можно утвер­ ждать, что сигнал этого передатчика идет в пространстве произвольно далеко. Копечио, количество энергии, дости­ гающей некоторой точки пространства, убывает с ростом расстояния между передатчиком и приемником. Однако решение задачи с помощью теории Максвелла дает гаран­ тию, что в принципе сигнал уходит в пространство на любое расстояние. Единственная проблема — это обна­ ружение сигнала. Практически предел обнаружения сиг­ нала связан с неизбежным наличием шума. Если доста­ точно далеко разнести передатчик и приемник, то можно достичь такого пункта, где мощность сигнала исчезнет в тепловом шуме. Возможно, конечно, выделить сигнал из шума посредством специальных методов. Однако утвер­ ждать, что можно преодолеть произвольное расстояние с помощью передатчика даппой конечной мощности и сиг­ нала с данной полосой, поскольку сигнал по крайней мере в принципе всегда есть, бессмысленно, так как наличие шума накладывает определенные пределы на возможности, при которых можно выделить сигнал. Ограничения приема сигналов в присутствии шума рассмотрены Шенноном [39].

Утверждение, что рэлеевское ограничение не имеет отношения к теоретическому восстановлению изображе­ ния объекта, имеет ту же природу. В этот вопрос внес ясность Торальдо ди Франчиа. Мы рассмотрим его аргу­ мент, который основан на привлечении некоторых функ­ ций, называемых вытянутыми сфероидальными функция-

ми. Свойства этих функций исследованы в ряде статей Ландау, Поллака, Слепяиа и Зоннеиблика КО, 41, 62, 631. Интересующее иас свойство этих функций % (и)

<С и0/2. Это свойство выражается условиями ортогональ­ ности 1). Первое из них распространяется на неограниченпую область

Фуикщгаф являются решениями интегрального уравнения

-и о/2

Параметр А.; есть собственное значение интегрального уравнения (4.6.13). Собственное значение А,г, так же как и функции г|р (и), зависит от константы с, определяемой соотношением

заключается в том, что они оказываются ортогональными как в ин­ тервале (— оо, оо), так ы в некотором конечном интервале. При этом

свойство ортогональности является самостоятельным свойством, не связанным с полнотой. Заметим, что в физике под полнотой систе­ мы функций понимается возможность разложения по системе этих функций, т. е. разложимость.— Прим. ред.

этих функций от параметра с. Для дальнейшего полезно знать величину параметра с. С помощью формул (4.3.28) и (4.3.29) можно представить константу с в виде

Размер объекта D соответствует и0, а велнчппа а есть полу­ ширина апертуры. В разд. 2.2 было отмечено, что прибли­ жение Френеля в теории дифракции справедливо при пренебрежении в разложении (2.2.23) членами, которые после умножения на к = 2л/А (пе следует путать длину волны X с собственным значением А.,-) мпого меньше едини­ цы. Потребуем

чтобы гарантировать справедливость приближения Френе­ ля. При / = 1 м и А = 0,5 мкм необходимо иметь а = 1 ,5 см, чтобы выражение в левой части (4.6.16) равнялось при­ близительно 0,1. Беря для простоты а = D, из формулы

(4.6.15) получим

Число с можно сделать еще больше даже при сравнительно малых апертурах. Между прочим, величина с представляет собой степень справедливости приближения Френеля в за­ дачах дифракции. Приближение Френеля точнее при меньших значениях с. Параметр с дает порядок величи­ ны второго члена в выражении (2.2.23) (после умножения на к = 2л/А), который можно записать в виде

Величина N называется числом Френеля. Здесь вместо / стоит L для обозначения более общего расстояния вдоль оптической оси. Выбор фокусного расстояния / в формуле (4.6.15) был продиктован обычной задачей, схематически изображенной на фиг. 4.6.1. При а = D и L = / параметр с совпадает с числом Френеля N. В рассмотренном приме­ ре получаем N = 1410.

После этого отступления в область справедливости приближения Френеля вернемся к рассмотрению собствен-