Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

позволяет записать

Оба угла здесь положительные, что привело к различию в знаке в формулах (4.2.4) и (5.2.1). Положение луча в п-й линзе может быть определено по положению луча в (п—1)-й линзе и углу наклона луча:

Это равенство справедливо только для параксиальных лучей. Чтобы получить разностное уравнение для величин гп, нужно из формул (5.2.1) и (5.2.2) исключить углы. Это можно сделать, используя формулу (5.2.2) с индексом (п + 1) вместо п:

Вычитая (5.2.2) из (5.2.3) и используя равенство (5.2.1), получаем нужное уравнение

Решение разностного уравнения дает возможность опре­ делить положеппе луча на произвольной промежуточной линзе, если известно положение луча на первых двух линзах.

Решение уравнения (5.2.4) может быть найдено в виде

Подстановка в (5.2.4) дает соотношение для определения величины 0:

Выражения (5.2.5) и (5.2.6) являются решениями разност­ ного уравнения (5.2.4). Другим решением является реше­ ние, полученное путем изменения знака перед 0, так как выражение (5.2.6) справедливо как для положительных, так и для отрицательных 0. Наиболее полное общее реше­ ние можно записать в виде

Константы А и Б могут быть выражены через положе­ ния луча на первых двух линзах:

Решением этих двух уравнений являются выражения

Решение (5.2.7) можно теперь записать в конечном виде

Выражение (5.2.12) позволяет определить траекторию каждого луча в линзовом волноводе в параксиальном приближении. В частности, можно определить траектории двух лучей, показанных на фиг. 5.2.1. Для случая L — 2/

из формулы (5.2.6) получим, что cos 0 = 0, sin 0 = 1.

Подстановка этих значений позволяет упростить выра­ жение (5.2.12) для конфокального линзового волновода:

Траектория луча, показанная сплошной линией на фиг. 5.2.1, имеет начальные условия

Легко видеть, что выражение (5.2.15) описывает траекто­ рию, соответствующую сплошной линии на фиг. 5.2.1.

Траектория луча, показанная пунктирной линией, имеет начальные условия

так что эта траектория в конфокальном волноводе описы­ вается выражением

Нетрудно проверить, что выражение (5.2.17) описывает тра­ екторию луча, показанную па фиг. 5.2.1 пунктирной линией.

Наиболее важным результатом проведенного анализа является выражение (5.2.6), так как оно позволяет опре­ делить область изменения отношения Lij, которая допу­ стима для линзовых волноводов. Из решения (5.2.12) видно, что лучи в волноводе могут существовать только при действительных значениях параметра 0. Если 0 — комплексная величина, то тригонометрические функции становятся гиперболическими и лучи будут неограниченно отклоняться от оси. Таким образом, направляемые лучи не могут существовать в линзовом волноводе. Поскольку величина синусоидальной функции лежит между значе­ ниями —1 и 1, то мы получаем допустимую область изме­ нения отношения L// в виде

При значениях Llf, лежащих вне этой области, лучи в вол­ новоде не распространяются. Если раздвинуть линзы на расстояние, хотя бы па немного превышающее L = 4/, то получим волиовод, амплитуда отклонения луча в кото­ ром будет увеличиваться и в конце концов достигнет края линз, а затем области вне линз. В результате луч выйдет из волновода.

Рассмотрим этот случай более подробно. При L > 4/ выражение (5.2.0) становится отрицательным и больше единицы по абсолютной величине. Решение возможно

Этот результат показывает, что имеются формальные реше­ ния вне области, где возможно существование направляе­ мых волн. Уравнение соответствующих траекторий полу­ чим из формул (5.2.12) и (5.2.19):

Так как гиперболический сипус не осциллирует, а растет монотонно с увеличением аргумента, то выражение (5.2.21) описывает лучи, которые осциллируют около оптической оси лишь за счет коэффициента (—1)", при этом амплитуда отклонения безгранично растет при распростра­ нении лучей вдоль линзового волновода.

Чтобы сравнить режим работы волповода в области, где лучи поддерживаются волноводом, с режимом, когда лучи не поддерживаются волноводом, запишем выражение

(5.2.12) для 0 = я в виде

Это выражение также получается из уравнения для лучей, не поддерживаемых волноводом (5.2.21). Переход между двумя этими режимами работы, таким образом, непреры­ вен. Критическая граница области с 0 = я, или 0' = О, интересна тем, что для иее возможны оба режима работы волповода. Будут ли распространяться лучи в волноводе или впе его, зависит только от начальных условий. Для общего случая задания величии и г2 мы видим, что ампли­ туда растет линейно, так что луч выходит за линзы. Одна­

Анализ поведения лучей в линзовом волноводе дает доста­ точно много информации о возможных областях существо­ вания направляемых и иеиаправляемых лучей или волн.

Другим интересным примером линзового волновода является последовательность линз, подобная показанной на фиг. 5.2.1, но отличающаяся тем, что фокусное расстоя­ ние линз изменяется от линзы к линзе. Пусть четные линзы имеют фокусное расстояние Д, а нечетные линзы — / 2. Можно даже предположить случай, когда Д или / 2 (но не оба) становятся отрицательными, т. е. фокусирующие линзы чередуются с расфокусирующими. Мы увидим, что направляемые лучи могут существовать даже и в этом случае. Это так называемый случай с переменной фокуси­ ровкой [45, 46].

Уравнение луча можно получить из фиг. 5.2.3. Исполь­ зуя параксиальное уравнение линзы, подобное (5.2.1),

Положения лучей на смежных линзах опять связаны соот­ ношением (5.2.2):

Вычитая (5.2.27) нз (5.2.26), получим с учетом (5.2.24)

Далее, заменив в формуле (5.2.26) п на п + 1 и вычитая

Ф п г. 5.2.3. Определение углов наклона и положений луча для линзового волновода с чередующимися линзами с различными фо­ кусными расстояниями.

из полученного уравнения (5.2.27), пайдем с помощью формулы (5.2.25)

rn+i-(-?'n— ^2 — P/i+i- (5.2.26)

Заменим в этом соотношении п иа п — 1 и прибавим полу­ ченное выражение к (5.2.29). Используя соотношение (5.2.28), чтобы исключить р, получим в результате урав­ нение, содержащее только г:

гп+1 + [ 2 — (2 — ^-) ( 2 - - £ - ) J r n+ r„ _ 1= 0. (5.2.30)