ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 210
Скачиваний: 0
224 Глава 4
коэффициенты которого |
определяются |
формулой |
|
со |
|
а‘= |
j /(н)ф,-(н)йн. |
(4.0.27) |
— со
Аналогичным образом можно представить выходное поле (поле изображения):
оо |
|
f( — w) = 2 Пгфг(ш), |
(4.6.28) |
г= 0 |
|
где |
|
00 |
|
A t— j ]( — w)\\>i{w)dw. |
(4.6.29) |
— СО
Исходя из выражения (4.6.13), можно получить связь между коэффициентами разложений at и A t. Подставляя выражение (4.6.26) в (4.6.3) и используя формулу (4.6.13), получаем
со |
|
/( — w)= 2 яДгфг (if); |
(4.6.30) |
i=0 |
|
сравнение формул (4.6.28) и (4.6.30) позволяет установить, что
Ai = Xiai. |
(4.6.31) |
Система, формирующая изображение, позволяет наблю
дать поле изображения / (w), а поле объекта / (и) не изве стно. Критики рэлеевского ограничения разрешающей способности изображения утверждают, что поле изобра жения можно в принципе построить из поля объекта неза висимо от того, насколько мала апертура системы, форми рующей изображение. То, что это утверждение математи чески верно, можно видеть из соотношения (4.6.31). Поскольку известно поле изображения, то в принципе известны и все коэффициенты Н г. Следовательно, коэффи циенты разложения поля объекта (4.6.26) получаются как
ai = jf-. |
(4.6.32) |
Подстановка выражения (4.6.32) в формулу (4.6.26) дает точное поле изображения независимо от размера апертуры
Линзы |
225 |
и длины волны света, применяемого в системе, формирую щей изображение. Это доказывает, что с точки зрения мате матики не существует ограничения, обусловленного конеч ными размерами апертуры рассматриваемой системы.
Обратимся |
теперь к практической стороне вопроса |
и посмотрим, |
есть ли надежда использовать полученный |
математический результат. Для того чтобы иметь возмож |
|
ность всегда восстановить изображение, нужно предпо |
|
ложить, что все коэффициенты A t |
действительно могут |
быть измерены как угодно точно. |
Однако рассмотрение |
собственных значений |
показывает, что при г^> (2/я) с |
собственные значения |
становятся малыми. Это говорит |
о том, что коэффициенты разложения поля изображения должны быть много меньше соответствующих коэффициен тов разложения поля объекта. Таким образом, мы сталки ваемся с задачей измерения весьма малых величин с очень большой точностью. Так как, согласно формуле (4.G.32), коэффициенты a-t получаются из A t путем умножения па очень большое число, очевидно, что ошибка при попыт ке измерить A t также возрастает из-за слишком большой величины 1/А.г. Для точного определения поля объекта требуется исключительно точно измерить коэффициенты разложепия поля изображения. Таким образо.м, очевидно существование аналогии между задачей определения радио сигнала на некотором расстоянии от передатчика и задачей восстановления поля объекта по полю изображения. Невозможно получить изображение без мешающего дей ствия какого-либо шума. Это может быть тепловой шум в фотодетекторе при зондировании поля изображения, в телевизионной трубке или даже в фотографической эмульсин. Общеизвестен факт присутствия шумов при электрическом детектировании. Фотографические эмуль син вызывают «шум» из-за конечного размера зерен кри сталлов галоида серебра. Но даже если удалось бы сделать идеальную эмульсию, все равно невозможно получить размеры зерен меньше размера отдельной молекулы, т. е. шум в фотоэмульсиях также неизбежен, как и шум в элек трических цепях. Следовательно, нет никакой надежды точно восстановить поле объекта, зиая поле изображения. Некоторая информация всегда теряется, даже еслп в стро го математическом смысле имеется возможность построить
15-087
22G |
Глава 4 |
•поле объекта по полю изображепия, несмотря иа дифрак цию. Это математическое положенно имеет ограниченное применение в реальном мире. Только значительно более тщательное изучение может показать, возможно ли улуч шить предельную разрешающую способпость, определяе мую обычно с помощью критерия Рэлея. Связь между проведенным обсуждением и критерием Рэлея не простая и не явная, даже когда возможно определить практи ческую предельную разрешающую способпость иа основе соотношения (4.6.32). Наша цель состояла в том, чтобы показать, что аргументы против истинного ограниче ния, предсказываемого критерием Рэлея, имеют весьма сомнительную ценность, если они основаны иа утвержде нии, что аналитическую функцию можно в принципе построить по ее значениям внутри конечной области. Если воздействие шума, препятствующее процессу обнаружения, пе учитывается, то нельзя получать надежные сведения.
5
ЛИНЗОВЫЕ ВОЛ ПОВОДЫ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
Параллельный пучок света нельзя передавать па произ вольные расстояния без изменения его поперечных раз меров (см. разд. 2.3,, 2.4, 3.6). Строго говоря, параллель ный пучок света возможен только в пределе для очень коротких длин воли или в случае бесконечно широкой апертуры (поперечного сечения) пучка. Оба эти условия не могут быть полностью реализованы. Однако для корот ких длин волн света относительно легко получить боль шие (по сравнению с длиной волны) апертуры и, таким образом, воспроизвести достаточно параллельный пучок света. Если приемник света находится на не слишком боль шом расстоянии от источника, то практически весь пере данный свет будет принят. Но если это расстояние окажет ся слишком большим, то весь передаваемый свет не будет принят. Например, когерентный пучок света, ограничен ный круглой апертурой диаметром 30 см и передаваемый с Земли, будет на Лупе засвечивать круг радиусом 1 км (без учета влияния атмосферы Земли).
Передача света между наземными станциями связи затруднена пе только из-за дифракции света, ио и из-за влияния земной атмосферы. Лазерный луч, который пере дается на несколько километров через земную атмосферу, приходит к приемнику с большими искажениями. Если такой луч принимается на экран, то его изображение созда ет впечатление движущегося пламени. Причиной такого явления являются случайные неоднородности (турбулент ности) в атмосфере, которые приводят к отклонению и рас хождению светового пучка, что ограничивает возможность параллельного распространения света. Если, кроме того, принять во внимание различные препятствия на пути пуч ка света, то становится ясным, что для передачи света
15*
228 |
Глава 5 |
в атмосфере Земли необходима специальная направляю щая система. Существует много различных способов пере дачи света. В зтой книге будут рассмотрены лишь некото рые из них. Настоящая глава посвящена одному из наи более перспективных способов передачи света с помощью линзового волновода, предложенного Губо [43]_(Губо назвал его линзовым лучеводом). Как следует из названия, в таком волноводе для создания условий передачи света исполь зуются линзы. Мы будем исследовать линзовые волноводы с помощью методов как геометрической, так и волновой оптики. Кроме принципа работы регулярного прямолиней ного волновода, будут рассмотрены также изогнутый линзовый волновод и волновод со статистическими нерегу лярностями.
5.2.ЛУЧЕВАЯ ОПТИКА РЕГУЛЯРНОГО ЛИНЗОВОГО ВОЛНОВОДА
Схематически линзовый волновод изображен на фнг. 5.2.1. Расстояние между линзами равно двойному фокусному расстоянию, что соответствует особому случаю
Л инзы
А
|
|
о |
|
> |
V |
> < |
|
'X |
\ |
||
^ N |
|
Л |
|
||
|
|
|
|
|
Л учи света
Фи г. 5.2.1. Траектории лучен двух типов в конфокальпсш линзо
вом волноводе.
линзового волновода. Будут рассмотрены в дальнейшем также и другие варианты. Устройство, показанное на фиг. 5.2.1, называется конфокальным линзовым волно водом, так как фокусы соседних линз совпадают. Кон фокальная геометрия приводит к чрезвычайно простой траектории луча. На фигуре показаны два луча, проходя
щие через волновод.
Анализ линзового волновода будет ограничен парак сиальным приближением. Только в этом приближении уравнение луча можно решить аналитически. Работа
Линзовые волноводы |
229 |
линзового волновода может быть понята с помощью кван товой теории световых лучей. В соответствии с прин ципом неопределенности (3.6.56) точное положение луча не известно, если лучи предполагаются параллельными. Для строго коллимированного пучка можно точно опреде лить угол его наклона (в терминах квантовой теории свето вых лучей — импульс луча). Согласно принципу неопре деленности Да; — оо, если Дрх — 0. Для того чтобы иметь
L |
|
L |
п—/ |
п |
п+/ |
Ф и г. 5.2.2. Положение и |
углы наклона |
луча в линзовом вол |
|
новоде. |
|
пучок конечной протяженности по ширине (т. е. чтобы неопределенность его положения Да; имела конечную величину), необходимо допустить разброс импульсов лучей Дрх. Линзовый волновод заставляет луч света отклоняться и сужаться при прохождении его от линзы к линзе. Эле ментарные лучи полного пучка никогда не имеют одина кового наклона, так что существует конечная неопреде ленность Дрх лучевого «импульса». Это дает возможность определить положение луча внутри заданного интервала Да: без нарушения принципа неопределенности для свето вых лучей.
Для того чтобы иметь возможность определить траекто рии луча в линзовом волноводе, получим разностное урав нение для положения луча на каждой линзе [44]. Рассмот рим три линзы волновода (фиг. 5.2.2). Пусть расстояние от оптической оси луча в сечении п-й линзы равно гп. Угол между лучом и направлением оси волновода обозна чим через ап. Все линзы имеют одинаковое фокусное рас стояние / и расположены на расстоянии L друг от друга. Уравнение линзы в параксиальном приближении (4.2.4)