Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Полное решение неоднородного разностного уравнения (5.4.3) является суммой решения (5.2.12) однородного уравнения и частного решения (5.4.7) неоднородного уравнения:

, П =Ж 0 [ 1s*n (п ~~^ ©“Ь'г s‘n (п — 1) 0 + л-1

-f-L У yvsin (п — v) ©J для п ^ З . (5.4.8)

v=2

Это решение для траектории луча в линзовом волноводе с искривленной осью получено в параксиальном прибли­ жении. Однако оно справедливо для волноводов, оси

которых изменяются произвольным образом, но так, что угол уп остается малым.

Угол у„ может быть использован для получения радиу­ са кривизны линзового волновода. На фиг. 5.4.2показано, как угол уп связан с радиусом кривизны оси волновода.

Разумеется, это соотношение справедливо лишь в пара­ ксиальном приближении,

Подстановка выражений (5.4.10) и (5.4.11) в (5.4.7) дает

71— I

Р«= 5 '1+ Л Г ё З (25v5V_, - 5V+1) sin (» - v ) ©.(5.4.12) v=2

Перегруппировка членов в сумме приводит к выражению

p»= ^ g { — Si sin (/г — 2)0-j-6,2sin(« — 1)0 +

71— 1

-f- 2 Sv [2 sin (я—v) 0 —sin (я—v—1)0—sin(n—v-j~l)0]| • v=2

(5.4.13)

Пашей задачей является нахождение частного решения неоднородного разностного уравнения, которое соответ­ ствует этой модифицированной задаче. Перввте два члена до знака суммы в формуле (5.4.13) являются решениями однородного разностного уравнепня п могут быть исполь­ зованы в качестве решения, которое должно быть добавле­ но для получения полного решения неоднородного раз­ ностного уравнения. Опустив первые два члена в форму­ ле (5.4.13) и используя формулу для суммы синусов, мож­ но записать частное решение неоднородной задачи в виде

с методом получения соотношения (5.4.8). В итоге получим полное решение задачи

plSin (” — 2) 0 + р2 sin (я — 1 )0 +

71— 1

+ - J - 2 ■S’vSin^i — v)©j .(5.4.15)

v=2

Формула (5.2.6) использовалась для выражения cos 0 через Uf. Наша вторая формулировка задачи линзового волновода с искривленной осью имеет тот недостаток, что она непригодна для описания волноводов, осп которых

В этих случаях должна использоваться формула (5.4.8). Однако выражение (5.4.15) является полезным при стати­ стическом анализе траекторий лучей в линзовом волново­ де с малыми случайными смещениями линз.

Теперь мы в состоянии предсказать траекторию любого луча в линзовом волноводе с произвольной деформацией оси и с достаточно большим радиусом кривизны, чтобы выполнялись приближения, которые были использованы при получении соотношения (5.4.8).

Существует несколько простых случаев, которые лег­ ко могут быть описаны пашей теорией. Рассмотрим лин­ зовый волновод, ось которого свернута в кольцо. Можно опустить индекс п у радиуса кривизны н вместо выраже­

Суммирование в формуле (5.4.8) легко осуществляется;

врезультате имеем:

{— /*1 sin (/г — 2) 0 - f r 2siu(/i— J) 0 —

Учет выражения (5.2.6) преобразует этот член к простому виду

Легко можно показать, что гп — гс, если в формуле (5.4.17) положить г4 = г2 = гс. Но вместо этого докажем более общее положение, что траектория луча в кольцевом лин­ зовом волноводе подобна траектории луча в идеально

250 Глава 5

по траектории wn = 0 или гп — гс, где г,, определяется формулой (5.4.19). Такая траектория луча смещается сильнее для меньших значений радиуса кривизны R, т. е. для более резко изогнутых волноводов. Очевидно, что расположение линз па небольших расстояниях друг от друга (L мало) позволяет использовать более резкие изгибы. Способность линзовых волноводов передавать световые лучи по искривленным траекториям ограничи­ вается только размерами линз. Размах колебания траек­

запас пространства, чтобы не выйти за пределы линзы. Тра­ ектории лучей в линзовых волноводах, имеющих ось более сложной формы, могут быть получены из уравнения (5.4.8), но сумма, входящая в это уравнение, обычно ио может быть вычислена в конечном виде. При вычислении траектории луча на вычислительной машине можно использовать уравнение (5.4.8) или разностное уравнение (5.4.3).

Другим отклонением от прямолинейности, которое легко может быть исследовано с помощью рассмотренных выше аналитических выражений, является обычный излом оси прямого оптического волновода. В этом случае

что означает, что все углы уп, за исключением одного, равны нулю. Если луч начинается на оси (г( = г2 = 0), уравнение траектории луча в точках за изломом полу­ чается из (5.4.8) в виде

Излом на угол у вызывает вблизи излома оси колебания луча относительно оси волновода с амплитудой уЫsin 0.

В качестве последнего примера рассмотрим случай прямого оптического волновода с одной смещенной линзой. В этом случае имеем

и для луча, находящегося вначале на оси (р, = рг = 0),

Одна смещенная линза, так же как и излом оси, вызывает колебания пучка относительно оси с амплитудой

SL/(f sin 0).

Обсуждение рассматриваемого вопроса в данном раз­ деле показало, что линзовые волноводы способны переда­ вать пучки света по изогнутым траекториям, радиус кривизны которых определяется фокусным расстоянием и радиусом линз. Однако любое отклонение от прямоли­ нейности или правильной круговой формы вызывает колебания луча. Маловероятно, чтобы эти колебания уменьшались в последующих точках оси волновода. Конечно, не исключено, что другой случайный перекос какой-нибудь линзы уменьшит амплитуду колебаний луча. Однако в среднем колебания луча имеют тенденцию к воз­ растанию, что будет видно при рассмотрении этого вопроса в следующем разделе.

Свойство изломов оси или смещенных линз изменять траекторию луча света может быть использовано для воз­ вращения луча на ось волновода, если луч начал колебаться при своем распространении. Однако подобное подавление колебаний возможно только для лучей, траек­ тории которых известны. В общем же случае это не воз­ можно, что будет показано в следующем разделе. Подав­ ление колебаний луча требует наличия датчиков, опреде­ ляющих положение светового луча по крайней мере на двух линзах. Данные, получаемые с этих датчиков, могут быть использованы для управления последующими лин­ зами, возвращающими пучок на осевую траекторию.

5.5. ЛИНЗОВЫЕ ВОЛНОВОДЫ СО СЛУЧАЙНЫМ СМЕЩЕНИЕМ ЛИНЗ

Из предыдущего раздела видно, что хотя линзовые волноводы и обладают способностью передавать лучи вдоль искривленного пути, однако лучи в этом случае следуют по колеблющимся траекториям. Так как радиусы линз имеют конечные размеры, амплитуда колебатшй луча

в противпом случае луч будет потерян. Мы изучим стати­

опасно хаотическое смещение линз.

Начнем рассмотрение статистики линзового волновода, предполагая, что имеет место случайное расположение линз и что между смещениями соседних линз корреляции нет [50, 52]. Предположение о случайности смещений линз является близким к реальности, так как невозможно скопстрз'ировать линзовый волновод с идеально установлен­ ными линзами. Если не учитывать корреляцию между линзами, что является идеализацией, то это представляет первое приближение к любой реальной задаче.

Рассмотрим прямолипейный линзовый волновод. Лучи

Утверждение о случайности смещений линз при отсутст­ вии корреляции между их положениями можно матема­ тически записать в форме

]) Дисперсия случайного отклонении луча от среднего поло­ жения, в данном случае от оси.— Прим. ред.