ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 221
Скачиваний: 0
Л ипаиаые волпоииОы |
253 |
Практический интерес представляет случай большого числа линз п. Если п достаточно велико, то можно пре небречь членами внутри скобок, и тогда получим для модуля отклонения (корня квадратного из варианса) выражение
о,>= |
,-sL. |
V n при 7г > 1 . |
(5.5.7) |
у |
2 / sin 0 |
|
|
Используя формулу (5.2.6), запишем это выражение в виде
В наиболее практически интересном случае конфокаль ного линзового волновода (L = 2/) выражение для упрощается:
an = s Y 2п. |
(5.5.9) |
Можно заметить, что линзовый волновод с L = 4/ пред ставляет собой предельный случай, когда еще опреде ленные лучи могут передаваться.
Этот результат следует и из выражения (5.5.8), кото рое становится неограниченным при L = 4/. Пучок в этом случае нестабилен, и потери имеют место всегда, если линзы хоть слегка не выставлены в линию.
Для того чтобы почувствовать влияние на распростра нение луча случайного смещения линз, рассмотрим при мер. Предположим, что необходимо передать пучок света
с |
помощью линзового волновода |
на |
расстояние свыше |
10 |
км. Используя газовые линзы |
с |
низкими потерями, |
целесообразно расстояние между ними делать в 1 м. Тогда полное число линз будет п = 10 000. Если при нять, что отклонение пучка света от оптической оси равно приблизительно 3 мм (приемлемое допущение для газовых линз), то необходимо обеспечпть
S< 2 ,1 2 -10-2 мм= 21,2 мкм. |
(5.5.10) |
Это означает, что для того, чтобы пучок света прошел путь длиной 10 км в линзовом волноводе, линзы в среднем не должны отклоняться более чем на 20 мкм от своего номинального положения.
254 Г . К И Ш 5
Напомним, что одной па замечательных особенностей газовых линз является то, что они позволяют делать про межутки между ними весьма малыми без введения дополни тельных потерь в передающую линию. Наше рассмотрение искривленных линзовых волноводов показало, что, распо лагая линзы близко друг к другу, можно осуществить довольно крутые изгибы. Этот результат приводит к выводу, что при построении линзового волновода нужно распола гать линзы очень близко друг к другу. Полученный же
выше результат, однако, |
предостерегает от использования |
|
слишком |
большого числа линз. Допустимое отклонение |
|
в 20 мкм, |
несомненно, |
практически трудновыполнимо. |
Предположим, что можно допустить значение s — 0,1 мм. Это означает, что можно пропустить пучок света через 450 линз, т. е. на расстояние 450 м при интервале между линзами 1 м .
Соотношение (5.4.15) со случайным S v является идеаль ным приложением для центральной предельной теоремы теории вероятностей [54]. Центральная предельная теоре ма устанавливает, что случайная переменная, которая представляет собой сумму большого числа некоррелиро ванных случайных переменных, распределена по закону Гаусса независимо от распределения случайных перемен ных в сумме. Поэтому можно предположить, что вероят ность нахождения луча в некотором заданном месте в линзовом волноводе со случайным смещением линз подчиняется гауссову распределению. Этот результат справедлпв, конечно, только после того, как световой луч пройдет большое число линз. Однако он оказывается спра ведливым п для произвольного значения п, если распреде ление вероятностей смещения линз также подчиняется закону Гаусса. Гауссово распределенно вероятностей пол ностью определяется его вариансом. Таким образом,
вероятность нахождения луча в положении |
г в интер |
|
вале dr определяется |
[53] выражением |
|
рп (г) dr = |
—Д=— е-(г2/2<тл) dr. |
(5.5.11) |
|
у ' 2л сг/I |
|
Это распределение вероятностей нахождения луча при заданном радиусе на гг-й линзе справедливо, конечно, только для бесконечно больших линз. Выражение (5.5.11)
Jl нпсовые auiповоды
приближенно справедливо и для линз с ограниченным радиусом а нрп условии, что стп а.
Если требуется рассмотреть реальный случай волново дов с линзами, радиус которых не обязательно много больше среднеквадратичного отклонения смещения пучка, то необходимо знать распределение вероятностей, которое по крайней мере приближенно справедливо для такого случая. Чтобы понять ограничения применимости распре деления вероятностей (5.5.11), важно учесть, что луч, кото рый наблюдается при данном радиусе г, может прийти многими путями. Возможно, что этот луч пройдет через л-ю линзу при максимальном отклонении своей волнооб разной траектории в тот момент, когда мы зафиксируем его при значении ?• у н-й линзы, но более вероятно, одна ко, что этот луч пересечет л-ю линзу во время какойнибудь другой части цикла траектории. Другими словами, мы можем выделить в некоторой заданной точке те лучи, которые с наибольшей вероятностью достигают значений, больших чем г\ в течение последующего полупериода своей колеблющейся траектории. Если амплитуда отклонения луча А (т. е. амплитуда колеблющейся траектории) боль ше а, то луч не достигнет п-й линзы в волноводе с линзами ограниченного радиуса а. Распределение вероятностей (5.5.11) особенно чувствительно к присутствию линз с ограниченной апертурой, так как оно содержит инфор мацию о лучах, проходящих через линзу при г < а, которые, однако, имеют амплитуду /1, большую чем радиус линзы а. и которые на предыдущих линзах должны были выйти из волновода.
Предыдущее рассмотрение показывает, что более разум но для расчетов использовать распределение вероятностей амплитуд траекторий, чем распределение вероятностей по ложения лучей. Распределение вероятностей амплитуды колеблющегося процесса, мгновенное значение которого является гауссовым, хорошо изучено в теории тепловых шумов в электрических цепях. Это так называемое распре
деление Рэлея [55]: |
|
Р п (-4) с1А= 4 - е-АУ°~°п«ы. |
(5.5.12) |
Нетрудно доказать справедливость этого утверждения. Уравнение траектории луча может быть записано
в виде
rn = A siи (пв -(-<!>)• |
(5.5.13) |
Влинзовых волноводах со случайным смещением линз А
иф — случайные переменные. Для всякого луча они представляют собой медленно меняющиеся функции от гг. Распределение вероятностей фазы должно быть постоянной величиной. Рассматривая однозначную часть траектории
луча, которая |
простирается |
от sin («0 + |
ф) = —1 до |
sin (ггб + ф) = |
+1, можчю с уверенностью полагать, что |
||
распределение |
вероятностей |
ф есть |
|
|
Ф(ф) = |
^ . |
(5.5.14) |
Считая А постоянной, а ф меняющейся, рассмотрим об ласть значений гп внутри интервала от —А до А . Вероят ность нахождения гп в интервале dr есть СА (г„) dr. GA — условная плотность вероятности нахождения гп при задан ном А. Соотношение между GA и Ф задается условием, со стоящим в том, что если ф находится в интервале dф, то радиус г может быть найден как соответствующая точка в интервале dr. Выразим это условие уравнением
GA ^r)dr=Ф(ф)dф, |
(5.5.15) |
НЛП |
|
|
(5-s.ig) |
d<р |
|
Используя формулы (5.5.13) и (5.5.14) п исключая ф,
получаем |
|
|
|
1 |
для |
|г | |
|
Ga (/•)= ] я Л/А'г—г2 |
|||
для |
(5.5.17) |
||
О |
I г I> А . |
Плотность распределения вероятностей положения луча г определяется выражением [54, 55]
Pn(r)= j CA (r)Pn(A)dA, |
(5.5.18) |
о
где Рп (И) —плотность распределения вероятностей ампли туды луча А. Используя формулу (5.5.17), можно выра
Линзовые волноводы |
257 |
зить это соотношение в виде
СО
' 5'5Л9>
г
Читатель может проверить, что два распределения вероят ностей (5.5.11) и (5.5.12) удовлетворяют уравнению (5.5.19).
Соотношение (5.5.19) пригодно не только в случае неограниченно больших лииз, но также и для реального случая линз с ограниченным радиусом. Однако в послед нем случае рп (г) и Рп (А ) уже не определяются выраже ниями (5.5.11) и (5.5.12).
Для практических целей более важно знать вероятность того, что положение луча (или амплитуда траекто рии луча) меньше определенного значения. Интеграль
ная вероятность нахождения луча в области |
с радиусом, |
меньшим чем гп, равна |
|
Гп |
|
И/ п(/-п)= 2 j pn (r)dr. |
(5.5.20) |
о |
|
Поскольку рп — четная функция, то можно |
ограничить |
область интегрирования положительными значениями г. Этим объясняется наличие множителя 2 в формуле (5.5.20). Интегральная вероятность того, что амплитуда траек тории меньше А, есть
А |
(5.5.21) |
Va( A ) = ^ P n (x)dx. |
|
и |
|
Множитель 2 в этом случае отсутствует, так как вероят
ность Рп определена только для положительных значе ний А .
Поскольку оказалось очень сложным сформулировать аналитическое выражение для различных распределений вероятностей в случае линз с ограниченным радиусом, то автор провел ряд экспериментов по численному моде лированию, чтобы получить распределение вероятностей положения луча в реальном линзовом волноводе с огра ниченными линзовыми апертурами [53]. На ЭВМ модели ровался конфокальный линзовый волновод со 100 линзами.
17-0S7