Оптические волокна |
377 |
волокна. Компоненты, соответствующие |
координатам г |
и <{>, сразу получаются из 2-й компоненты с помощью
|
|
|
|
|
|
выражений |
(8.2.7) — (8.2.10). |
|
г < а |
Обозначим радиус сердцевины через а. Для |
получим |
Ez= A JV (кг) еи’ф, |
|
(8.2.25) |
|
|
|
|
|
Hz — BJV(от) е^ф, |
|
(8.2.26) |
Ег= —-^-fpx/l/;(xr) + |
ico|.i0^ - S /v(w )]eiv‘f>I |
(8.2.27) |
|
X" l |
' |
J |
|
Еф= — ^ [ i P y i / v(w)-xcoj.i0S/v (xr)] е™ф, (8.2.28) |
Я г = |
— ~ j]— icoe, у A J V |
|
(xr)] е”’ф, |
(8.2.29) |
Яф= |
— |
^coeH./v(w)-l-ij3-^-S/v(w)J е;',ф. |
(8.2.30) |
Штрих означает дифференцирование относительно аргу мента кг фупкцин Бесселя (а не ?■). Соотношение между к, Р и ку имеет внд
х2 = А-'(-Р2, |
(8.2.31а) |
где |
(8.2.316) |
1с\ = агвщо- |
Диэлектрическая постоянная сердцевины связана с пока зателем преломления соотношением
|
|
nj = -g-. |
(8.2.32) |
Поле вне сердцевины, г > а1), |
определяется следующим |
образом: |
Ez= CH?(iyr)e*v+, |
'(8-2-33) |
|
|
|
|
Hz = DH? (iyr) е«ф, |
(8.2.34) |
E r = - j r |
[$ уС Н Г (1у г )+ щ ю у О Н У (iyr)] e**, |
(8.2.35) |
£ ф= |
_ ^ [ р ^ В Д Д ^ О - у с о ц о Я Я ^ Д п я - ) ]^ , |
(8.2.36) |
Я г= |
— |
[ - с о е ^ С Я ; 1’ (гуг)-(-урЯЯ^ ’ (iyr] «*♦, |
(8.2.37) |
Я Ф= |
— ^ |
[уш^СЯ'” ' (iyr) + p |
ЯЯ(,1) (iyr)] е**. |
(8.2.38) |
*) В уравнениях везде опущен множитель (8,2,22),
378 Глава 8
Штрих опять означает дифференцирование относительно аргумента, которым в этом случае является iyr. Величины
у, р и /г2 связаны соотношением |
|
Vs = Р2- ^ , |
(8.2.39а) |
где |
(8.2.396) |
A-, =(o2e2(.io- |
Постоянные А, В, С п D не определяются уравнениями Максвелла. Выражения для компонент поля, разумеется, являются решениями уравнений Максвелла, но, чтобы они правильно описывали моды оптического волокна [80], они должны еще удовлетворять граничным условиям (1.5.3) и (1.5.4). Так как существуют две тангенциальные компоненты для электрического поля п две для магнитного поля, применение граничных условий дает четыре урав нения. Поскольку в выражениях для компонент поля четыре неопределенные константы, то число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако наряду с ампли тудными коэффициентами существует постоянная распро странения р, которую также необходимо определить. Ее нахождение не представляет трудности. Граничные условия приводят к четырем однородным уравнениям. Однородные уравнения имеют решения только в том случае, если определитель системы уравнений равен нулю. Это дополнительное условие является достаточным для определения постоянной распространения р. Условие равенства определителя пулю называется уравнением собственных значений, так как из него определяются собственные значения р оператора волнового уравнения1). Из уравнения собственных значений определяются соб ственные значения постоянных распространения направ ляемых мод, пли, что то же самое, волновых чисел этих мод.
Граничные условия позволяют приравнять выражения для компонент поля Ez, Е ф, Н г и Н ф на границе при
J) Правильное сказать: «собственные значения оператора, включающего дифференциальный оператор волнового уравнения и граппчпые условия». Термин «собственное значение» заимствован из математики, точнее, из се раздела, называемого функциональ ным анализом, где решается задача о нахождении собственных значений, а также собственных функций линейных операторов. Здесь рассматривается частный случай такой задачи.— Прим, ред.
г = а. Получается следующая система уравнений:
|
AJ v (na) |
|
|
- С И ™ (iya) |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
(8.2.40) |
“ 7 -2- ,U V (ха) + i |
BJ'V ( я а ) + ^ - СИ*,1' ( i v « ) - ^ DU™' (iTn)=0, |
|
|
|
|
|
|
(8.2.41) |
|
|
|
|
|
-HHv ' (iva)=0, |
|
|
|
|
|
|
(8.2.42) |
- i |
,u ( , (x a )+ A -£■ HJV ( x a ) + 2 p С Я ™ ' (iv « )+ ^ - |
(8.2.43) |
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
(8.2.40) и (8.2.42) связывают коэффициенты |
А, |
С и В, |
D\ |
J v (xa.) |
, |
|
|
|
|
|
(8.2.44) |
|
|
|
|
U™ (iya) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
J v (ха) |
|
(8.2.45) |
|
|
|
|
В. |
|
|
|
|
II™ (iY“) |
|
|
Соотношение |
между коэффициентами И и 5 |
получается |
подстановкой |
(8.2.44) и |
(8.2.45) |
в (8.2.43): |
|
В |
i аху [еп>/;(ха) Н™ (iya)+ ie2x/v {на) Н™ (iya)] |
П. (8.2.46) |
v”- |
|
со (в!—е2)-роРЛ> (на) II™ (1Уа) |
|
|
|
Равенство |
|
и“-|-у2 = к\ |
= со" (8i — eg) Цо |
(8.2.47) |
|
|
|
было использовано для упрощения этого выражения. Уравнение (8.2.41) можно было бы использовать вместо (8.2.43). Полученное при этом выражение для В/А может быть преобразовано к виду (8.2.46) с помощью уравнения собственных значений [см. (8.2.53)]. Уравнение собствен ных значений получается из требования, чтобы определи тель системы уравнений (8.2.40) —(8.2.43) равнялся нулю:
Jv (на) 0
.соро
^ J r -МжО д а /(,(**)
И
0 Jv (на)
|
-II™ |
|
|
|
i ^ tI I ^ (iya) |
II™'(iya) |
|
|
У2 |
|
= 0. |
|
0 |
—Н™ (iya) |
|
|
v р
380 Глава 8
Вычисление определителя приводит к уравнению соб ственных значений
Г et |
ау2 |
J™' (ха) . |
r ayi J'v {xa) , II™' (гуаЬ _ |
L е2 |
х |
J v (ха) "Т"1Уа I] ™ (iya) J |
|_к J 4 ( x a ) ' l^a II™ (iya) | — |
|
|
= |
[ v ( t - ‘ ) ^ ] ' - |
(8'2'49) |
Снова формула (8.2.47) была использована для упрощения этого уравнения. Приведенные здесь соотношения пред ставляют собой решение задачи о распространении направ ляемых мод в оптическом волокне с оболочкой. Прибли
женное |
решение уравнения собственных значений дано |
в разд. |
8.6. |
В формуле (8.2.2:1) вместо еп’фможно исполь |
зовать е-,гф. |
Это привело бы к изменению знака v во всех |
формулах (исключая индекс v цилиндрических функций), которые, однако, остались бы темн же самыми, потому что v входит в уравнение (8.2.23) только в виде ч2. Такое изменение не повлияло бы па собственное значение р.
Прибавляя новые моды с противоположным |
знаком v |
к старым модам, получим выражения для поля, |
которые |
будут содержать cos уф и sin уф вместо экспоненциальной функции. Вычитание же новых мод из старых даст другой набор мод с синусом и косинусом от v<j>. Выражения для мод часто записываются через синус и косинус от уф вместо экспоненциальной функции, использованной здесь. Эта форма описания поля используется ниже (формулы
(8.6.59) - (8.6.64)).
Оказывается, что моды диэлектрического волновода имеют шесть компонент поля и невозможно разделить их на поперечно-электрические и поперечно-магнитные моды. Моды диэлектрических волноводов являются, таким образом, более сложными, чем моды полых металлических волноводов. Моды оптического волокна являются гибрид ными. Исключение составляет случай v = 0, для которого правая часть уравнения (8.2.49) равна нулю. При этом справедливы два различных уравнения собственных зна чений :
ТМ-моды
8) у У) {ха)
ег х /о (на)
щ и ( т |
0 |
(8.2.50) |
"о” (б’а) |
