И
Для получения этих результатов было использовано соотношение
(8.2.52)
Для мод, удовлетворяющих уравнению собственных зна чений (8.2.51), из выражения (8.2.46) находим, что В = оо, если v = 0. Чтобы сохранить В конечным, необходимо положить А = 0. Это означает, что в этом случае про дольная компонента Ez исчезающе мала. Моды становятся поперечно-электрическими, или ТЕ-модамн. В случае когда удовлетворяется уравнение собственных значений (8.2.50), необходимо сначала воспользоваться равенством (8.2.49), чтобы исключить v из знаменателя (8.2.46). В резуль тате имеем
со (Bi—е2) РД (И“) Н™ (ц,а)
А. (8.2.53)
Аналогичное выражение можно получить, если исполь зовать уравнение (8.2.41) вместо (8.2.43). Теперь можно устремить v 0, откуда В = 0 прн условии, что знаме натель (8.2.53) не равен нулю. Действительно, если мода удовлетворяет уравнению собственных значений (8.2.50), знаменатель (8.2.53) не равен нулю. Равенство В = 0 означает, что продольная компонента магнитного поля Нг исчезающе мала. Моды, удовлетворяющие уравнению собственных значений (8.2.50), являются, таким образом, поперечно-магнитными, или ТМ-модами.
Важным параметром любой моды является частота отсечки, или критическая частота1). Мода перестает суще ствовать как физическая волновая структура или отсе кается, когда ее поле больше не уменьшается при удалении от сердцевины. Степень уменьшения поля с увеличением /• определяется значением величины у. Ранее упоминалось, что функция /ДР (iyr) экспоненциально убывает с увели-
J) В английской технической литературе применяется первый термин, в русской используются оба термина, но чаще последишь При переводе мы сохранили первый термин (второй дан здесь для пояснения), считая, что это не приведет к недоразумениям.—
Прим. рей.
челном значений аргумента. Асимптотическое приближе ние для больших значений аргумента имеет вид [И, бII
IJ{}> (iyr) = f / r J L e-i (яг/2+я/4) е-yr д Л Я уг у [ . |
(8.2.54) |
При больших значениях у поле плотно сконцентрировано внутри и вблизи сердцевины. С уменьшением у поле пере распределяется в пространство вне сердцевины. При у = 0 поле выходит из волновода. Частота, при которой это происходит, называется частотой отсечки. Условием отсечки является, таким образом, соотношение
у = 1/ р2- / 1" = 0 . |
(8.2.55) |
Решения уравнения собственных значений на частотах, больших частоты отсечки, можно получить так же, как это было сделано Шлезингером, Диаментом и Вигаитом [83]. Как и эти авторы, преобразуем уравнение собственных значений к другому виду. Введем обозначения
_I ^У-И (яя)
ха |
J v (ха) |
’ |
j - __ J _ * ^ v -i (к а ) |
|
ха |
J v (ха) |
’ |
гг* _ _1_ 7/У+1 (Р’й) |
iya |
ll< "(iya) |
’ |
„ _ |
1 |
11у - i 0 » |
_ |
iya |
" Д (’Уа) |
(8.2.5G)
(8.2.57)
(8.2.58)
(8.2.59)
Используя следующие функциональные соотношения для цилиндрических функций [11, (И]
z;=4-(zv_ , - z v+1) |
(S.2.G0) |
и обозначение |
|
e = f , |
(8.2.G1) |
запишем уравнение собственных значений (8.2.49) после деления на а4у4 в следующей форме:
[е (/- - |
Г ) - (//" - Н +)] [(/- - Г ) - |
(Я" - |
Я +)| = |
|
|
_ Г 2у (ё — 1) ftAyj2 |
(8.2.G2) |
|
L |
а2у2к2 |
J |
|
|
Перегруппировка членов приводит к
(t J~ - //") ( / + - II*) - (е,/ + - 1Г) |
- //-) + |
+ (е7 + - Я*) ( / + - Я +)+ (е/- - Я") (/- - Я") = |
'2v (б — 1) (ЗЛ-2] “. (8.2.63) |
-F |
а2у2х2 |
Используя функциональное соотношение цилиндрических
функций [11, 61] |
|
|
Zv+J (a)+ Zv_, (а) = |
Zv (а), |
(8.2.64) |
получим |
|
|
и |
|
<8-2-65) |
|
(8.2.66) |
Н ' + Н - - — |
* ^ . |
С помощью этих соотношений уравнение (8.2.63) преобра зуется к виду
2 (е /_— //-) (./+ - 1Г) - 2 (е /+ - Я +) (/" - |
Я") + |
= |
(8-2.07) |
Далее с помощью формул (8.2.65) и (8.2.66) найдем
{j * - H * ) + {J- - H - ) = % [ ± + ± ] . (8.2.68)
Используя соотиошеиия между постоянными к, у, Р, к^ и к2, получим уравнение
( £ + 1 ? ) ( i + i ) = |
(8-2.69) |
Уравнение собственных значений (8.2.67) принимает про стую форму
(eJ~ - Я") ( Г - Я +) + ( е /+ - Я +) (/" - Н~) = 0. (8.2.70)
Уравнения собственных значений (8.2.49) и (8.2.70) явля ются, конечно, полностью эквивалентными. Для изучения решений в области отсечки лучше пользоваться уравне нием (8.2.70).
Известно, что условием отсечки является у = 0. По скольку аргументы функций Ханкеля в этом случае исчезающе малы, необходимо использовать приближение для малых значений аргументов [11, 61]
•2/ |
где |
/С(»уа) = 1 + ^ - 1 п ^ = ^ 1 н ф , |
Г = 1,781672, (8.2.71)
Из этих уравнений следуют соотношения
тг+ |
2v |
ДЛЯ V= 1 2 |
3 |
II |
— |
---гт; |
|
|
И')2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
V = 1, |
Н |
2 (v— 1) |
для |
II N)
|
СО
|
•£ч
|
|
|
|
Из формулы (8.2.70) для малых значений у и v щью (8.2.73) получим
(e/v-i — хаЯ J v) (a2y2/ v+1 -j-2vxa/v)-j-
-|-(ea2y2/ v+i-j-2vxa/v) (./v_t — xrH/“./v) = 0.
(8.2.73)
(8.2.74)
(8.2.75)
0 с помо
(8.2.76)
При |
у —►0 |
необходимо |
отдельно |
рассмотреть |
случаи |
v = |
1 и v > |
1. |
Начнем с v = 1 . Из равенства (8.2.76) при |
у —у 0 получим |
|
|
|
|
|
|
|
[2 (xa) J 1 (ха)]21п |
—0. |
(8.2.77) |
Решение этого |
уравнения |
имеет вид |
|
|
|
|
|
./i (ха) = 0. |
|
(8.2.78) |
Другое возможное решение ха = 0 также учтено в (8.2.78) Для v > 1 из равенства (8.2.76) в пределе при у 0
найдем
Jv (ха) [(е -|-1) / v_, (ха) - ^ Jv(ха)] - 0. |
(8.2.79) |
|
Оптические волокна |
385 |
Это уравнение допускает два решения: |
|
J v(xa) = 0 |
для ха ^ О и v = 2, 3, 4, ... |
(8.2.80) |
и |
|
|
( е + l ) / v_1(xa) = |
для v = 2, 3, 4, ... . |
(8.2.81) |
Как отменено в (8.2.80), решение ха = 0 должно быть здесь исключено. Этот очень важный результат следует из (8.2.70). Чтобы показать это, необходимо использовать приближение для функций Бесселя от малого аргумента
[11, 61]
|
О
|
1-Т II
|
и |
|
/ v(xa) = -^f- |
Для v - - 1, 2, 3, . . . . |
С учетом этих приближений найдем
<7+ —2 (v-|-l) для v — 1, 2, 3, .. . |
(8.2.84) |
и |
|
для V = 1 ,2 ,3 ........... |
(8.2.85) |
Если у и х становятся одновременно исчезающе малыми,
то равенство (8.2.70) |
для |
v > |
1 |
принимает вид |
2sv |
|
|
|
|
L (ах)2 2 (v—1 )] [2 (v-j ' i 7 + R r J + |
|
1 |
2v |
‘1 Г |
2v |
p i ) ] - 0 - (8-2.86) |
+ [2(v + l)' |
(aV)2J L(ax)2 |
2(y—1) |
|
|
. ] [ |
|
|
Когда x и у стремятся к нулю, уравнение (8.2.86) перехо дит в
4v2 fe + 1) |
= 0 для v = |
2, 3, 4, |
(8.2.87) |
(a2xv)2 |
|
|
|
То, что значение ха = 0 не удовлетворяет этому уравне нию, доказывает то.т факт, что оно не может быть и реше нием уравнения отсечки (8.2.80). С другой стороны, при v = 1 из формулы (8.2(70) имеем
\ М - Ъ‘£ ] I
+ [ 5 W j + ( ^ ] [ ( ^ - ln 4 r ] = ° - |
<8-2-8S) |
