8.3.НАПРАВЛЯЕМЫЕ МОДЫ ПЛОСКОГО ВОЛНОВОДА
Впредыдущем разделе были рассмотрены моды круг лых оптических волокон. Математическое описание рас пространения этих мод довольно сложное. Еще труднее анализировать потери на излучение круглого оптического волокна. Однако для получения данных о передающих свойствах диэлектрических волноводов нет необходимости изучать сложные направляющие структуры. Существуют более простые структуры диэлектрических волноводов, физические свойства которых близки к свойствам круг лых диэлектрических волноводов, а анализ проще. Поэтому рассмотрим моды идеализированной модели пло ского диэлектрического волновода. Эта структура наибо лее простая и на ее примере легче изучать преобразова ние мод и излучение из диэлектрического волновода. Результаты, полученные с помощью модели плоского вол
новода, обычно |
непосредственно применимы к круг |
лому оптическому |
волокну *). |
Плоский волновод схематически изображен на фиг. 8.1.2. Анализ плоского волновода как некоторой приближенной модели оптического волокна аналогичен рассмотрению проблемы дифракции, которую иногда удобно свести к двумерному случаю. Действительно, продольное сечение оптического волокна имеет сходство с плоским волноводом, который может рассматриваться как его двумерный аналог.
Для простоты в дальнейшем будем считать, что плоский волновод является бесконечно протяженным в направле нии оси у и вариации поля в этом направлении отсут ствуют. Математически это условие выражается соот
ношением |
|
£ = ° - |
<8-з л ) |
В общем случае моды оптического волокна гибридные, но при v = 0 они разделяются на ТЕ- и ТМ-моды. Ограниче ние (8.3.1) также позволяет представить поле плоского волновода в виде ТЕ- и ТМ-мод.х
х) Это не совсем так. Потери на излучение, например в изогну тых волноводах [111*], различны для плоских и круглых волно водов.— Прим. ред.
Начнем с изучения свойств ТЕ-мод. Для них E z = 0.
Подставив (8.3.1) в формулы (1.4.16) — (1.4.19), получим,
что только компоненты Н г, Н х и Е у не равны нулю. Используя уравнения Максвелла (1.4.13) и (.14.15), выра зим составляющие Н г и Н х через Еу:
|
Нх= |
i |
дЕу |
(8.3.2) |
|
cop, dz |
|
и |
|
|
i |
щ |
|
|
Hz |
(8.3.3) |
|
top |
дх |
|
|
|
Компонента Еу получается как решение приведенного
волнового |
уравнения х) |
|
|
|
|
д*Еу |
д*Еу |
|
(8.3.4) |
где |
- b J r + - a ^ + n2KEy= 0, |
|
о |
& |
|
|
|
|
(8.3.5) |
|
|
|
п2= |
--- |
и |
|
|
|
е0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
к0= со V ёо|То- ^ • |
(8.3.6) |
Для случая зависимости от |
координаты z и |
времени |
в |
виде |
|
|
|
(8.3.7) |
из |
(8.3.4) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
^ - |
+ ( n * k l - p ) E y= 0. |
(8.3.8) |
Решение этого уравнения внутри слоя отличается от реше ния в окружающей среде (оболочке). Решение задачи можно упростить путем разделения мод на четные и нечет ные. Естественно, четные и нечетные моды можно полу чить, используя основные выражения поля и строго решая задачу определения собственных значений. Однако априор ное введение четных и нечетных мод существенно упро щает решение задачи (сравните получение ТЕ- и ТМ-мод в разд. 8.2).
1) Заметим, что уравнение (8.3.4) удовлетворяется даже на гра нице раздела при х = -+d. В силу ограничения (8.3.1) член Е -V s в (1.3.4) равен нулю и остается только компонента Еу вектора Е.
394 |
Глава 8 |
|
ЧЕТНЫЕ НАПРАВЛЯЕМЫЕ ТЕ-МОДЫ |
|
Внутри |
волновода, | х | < d, составляющие поля |
четных мод имеют вид х) |
|
|
Ey= A ec,osxx |
(8.3.9) |
и |
|
|
|
Hz= ---- — Ае sinxx, |
(8.3.10) |
где |
к2 = п ^ - р 2. |
(8.3.11) |
|
Составляющая Н х находится из (8.3.2). Поле вне волно
вода, | х | > d, |
имеет вид |
|
|
|
£'y=^4ecosKde_T(l*l-d) |
(8.3.12) |
и |
|
|
|
tf^T ^r-^-A ^cosxde-vC U I-d), |
(8.3.13) |
z |
| х | шро |
v |
' |
ГД6 |
y2 = p2-;i-/cz. |
(8.3.14) |
Значения х2 и у2 положительны, так как п4> п2. Для положительных значений у поле вне волновода умень шается при увеличении | х |. Условие существования моды, таким образом, можно записать в виде
Амплитудная постоянная в (8.3.12) выбирается из условия непрерывности составляющей Еу при х = ± d. Необхо димо также потребовать непрерывности составляющей И г на границе раздела сред. Таким образом, из формул (8.3.10) и (8.3.13) получаем уравнение собственных значений
Амплитудный коэффициент можно выразить через мощ ность Р, переносимую модой. Из (1.2.12) с помощью
О Множитель (8.3.7) опущен во всех составляющих поля.
|
|
Оптические волокна |
395 |
формул (8.3.2) |
и (8.3.7) |
находим |
|
|
|
оо |
|
|
со |
|
p = i - |
J |
(Е х H'*)z d x = — |
j E„H*dx = |
|
|
— со |
|
— оо |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
= 4 |
r l l£ »f f e - |
(8-3-17) |
|
|
|
о |
|
|
Величина Р |
выражает |
мощность, |
переносимую |
волной |
по волноводу в направлении оси z через единицу его шири ны (по оси у). Подстановка выражений (8.3.9) и (8.3.12) в (8.3.17) приводит к соотношению
Ае= ( - 2co^ - p V /Z. |
(8.3.18) |
1*“ + т )
Чтобы получить А е в таком простом виде, было исполь зовано уравнение (8.3.16).
НЕЧЕТНЫЕ НАПРАВЛЯЕМЫЕ ТЕ-МОДЫ
Составляющие поля и уравнение собственных значе ний нечетных мод находятся так же, как в случае четных мод. Выражения для составляющих поля внутри волно вода, | х | < d, имеют вид
|
|
|
Еу— А 0sin кх |
(8.3.19) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
Я г= — |
Aocosxx. |
(8.3.20) |
Вне волновода, |
|a : |> d , |
имеем |
|
|
^ |
= |
T^ r 4 0sinxde-v(l*i-‘*) |
(8.3.21) |
и |
|
|
Iх I |
|
|
|
|
|
|
|
Я*=-=^^о8Шх«гв-т(1*1-«0. |
(8.3.22) |
Постоянные х |
и |
у |
определяются формулами |
(8.3.11) |
и (8.3.14). Составляющая Еу опять является непрерывной на границе раздела в силу выбора амплитудных коэффи циентов. Требование непрерывности для составляющей
H z приводит к уравнению собственных значений
Амплитудный коэффициент может быть выражен через переносимую мощность спомощью формул (8.3.17), (8.3.19), (8.3.21) и (8.3.23). В результате получается
yl0 = /J^ E ° р \ 1/2 . |
(8.3.24) |
Vpd+T )
Соотношения (8.3.18) и (8.3.24) внешне одинаковы. Однако постоянные Р и у, входящие в них, различны: в одном случае они являются решениями уравнения собственных значений для четных мод, в другом — для нечетных мод.
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕ-МОД
Уравнения собственных значений для четных и нечет ных ТЕ-мод плоского диэлектрического волновода намного проще соответствующих уравнений для круглого опти ческого волокна. Решения уравнений (8.3.16) и (8.3.23) можно представить наглядно, для этого необходимо построить графики правых п левых частей этих уравне ний. На фиг. 8.3.1 представлены эти графики. Решения уравнений находятся на пересечениях кривых. Из графи ков видно, что при данной частоте существует ограничен ное число решений. Величина у/х получается нз формул
(8.3.11) и (8.3.14)
|
у |
_ У (Я?— rap к% — х2 |
(8.3.25) |
|
У. |
У. |
|
|
Фиксируя d и изменяя частоту, получим точку, в которой кривая у/х касается оси xd, а кривая — х/у уходит в минус бесконечность. Кривые у/х и —х/у пересекают во многих точках графики tg xd. Это показывает, что в плоском волноводе может распространяться много направляемых мод. Из фигуры также видно, что четная ТЕ-мода низшего порядка может распространяться при сколь угодно малой частоте. Это единственная мода волновода, которая не имеет отсечки. Все ТЕ- и ТМ-моды оптического волокна имеют частоту отсечки, не равную нулю. Только мода
