Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

40 2 Глава 8

логичная ситуация имеет место и квантовой механике для атома водорода. Атом водорода имеет бесконечное число связанных состояний. Кроме них, энергетический спектр атома водорода содержит континуум несвязанных состоя­ ний, описывающих явление атомного рассеяния. Моды излучения открытых волноводов подробно рассмотрены в книге Шевченко [ИЗ].

Существование мод излучения диэлектрического вол­ новода можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть плоская волна падает извне па плоский диэлектри­ ческий волновод. Плоская волна испытывает при этом отражение н преломление таким образом, что возникает стоячая волна впутри н вне волновода. Поле излучения при удалении от диэлектрического слоя в этом .случае не уменьшается. Оно не связано с волноводом и поэтому не убывает во всем пространстве. Однако поле излучения также является решением задачи, так как оно удовлет­ воряет уравнениям Максвелла и граничным условиям на поверхности волновода. Можно возбуждать симметрич­ ные и несимметричные моды излучения, используя два источника с разных сторон от слоя. То, что волны излу­ чения не исчезают при удалении от волновода в бесконеч­ ность и, следовательно, переносят неограниченную мощность, не приводит к физически противоречивым ре­ зультатам. Дело в том, что никакой реальный источник поля не возбудпт только одну моду излучения. Всегда возбуждается совокупность этих мод. Поскольку спектр непрерывный, то это означает, что всегда ноле выражает­ ся в виде интеграла от этих волн, а интеграл, выражаю­ щий собой вдали от источника поле излучения, на беско­ нечности спадает, а точнее, удовлетворяет условию излучения. Используя эти вводные замечания, рассмотрим моды излучения математически.

ЧЕТНЫЕ ТЕ-МОДЫ ИЗЛУЧЕНИЯ

Число составляющих поля ТЕ-мод излучения (мод непрерывного спектра) такое же, как у направляемых мод (мод дискретного спектра) этого типа. Составляющая Еу должна удовлетворять уравнению (8.3.8), а составляю­ щие магнитного поля определяются из формул (8.3.2) и (8.3.3). Единственное различие между направляемыми

где

(8.4.0)

Сравнение с формулами (8.3.9) — (8.3.14) даст дополни­ тельный неопределенный амплитудный коэффициент в вы­ ражениях поля. Граничные условия, требующие непре­ рывности составляющих Еу и Н z при х = ± d , приводят к следующей системе уравнений (можно рассматривать только х = d, так как граничные условия при х = —d идентичны):

Поскольку имеются только два уравнения для отыскания трех неопределенных констант, необходимо рассматривать одну из них, например Се, как заданную и решать полу­ ченную неоднородную систему уравнений. Неоднород­ ная система уравнений имеет решения, только когда ее детерминант не равен нулю. В этом случае мы не получаем уравнения собственных значений и постоянная распро­ странения § останется произвольной. Коэффициенты De и Fe можно получить из формул (8.4.7) и (8.4.8)

De= ^ - ejpd ^ cos ad — i-B- sin ad j = Dc,Ce, (8.4.9)

Fe=D*. (8.4.10)

Выразим амплитудный коэффициент Ce через мощность, переносимую модой излучения. Ранее отмечалось, что мощность каждой моды излучения не ограничена (беско-

печна). Тогда вместо (8.3.17) можно потребовать, чтобы

Это соотношение является условием ортогональности двух различных мод с параметрами р и р'. Для разных значений этих параметров интеграл справа в (8.4.11) равен нулю, а для р = р' принимает бесконечное значение. Вычислять интеграл необходимо с особым вниманием, так как с его помощью определяется 8-функция. Проделаем это подроб­ но. Из формул (8.4.1), (8.4.4), (8.4.9) и (8.4.10) получаем

Интегрирование не представляет особых трудностей. Сим­ вол оо в данном случае характеризует очень большое число, стремящееся к бесконечности:

Используя формулу (8.4.9) и соотношение