Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 208

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оптические волокна

397

НЕц ые имеет отсечки. В целях сравнения необходимо предположить, что четная ТЕ-мода низшего порядка плоского диэлектрического волновода соответствует моде НЕц круглого оптического волокна.

Условие отсечки для четпых ТЕ-мод получается из требования, чтобы величина у/к обращалась в нуль на оси %d в том месте, где тангенс равняется нулю. Таким

Xd

Ф и г . 8.3.1. Графическое решение уравнений собственных значе­ ний (8.3.16) и (8.3.23).

образом, необходимо, чтобы xccZ= vjt (v — целое) в точке, где ycd = 0. Тогда из формулы (8.3.25) получим условие отсечки

У п\ — п\ k0d = v n = ‘Kcd.

(8.3.26)

При отсечке р = п2к0, а

у = 0 и

 

Ре __

"2

(8.3.27)

Ис

V n f — п\

 

Заметим, что соотношение (8.3.27) справедливо как для четных ТЕ-мод, так и для четных ТМ-мод [см. ниже формулу (8.3.38)].

ш

Глава 8

Механизм распространения моды в плоском волноводе с физической точки зрения можно объяснить следующим образом. Рассмотрим четпую ТЕ-моду. Восстанавливая множитель (8.3.7), перепишем выражение (8.3.9) в виде

£ y= - i- ^ e[ei(fflt+xx-P2)-)-ei(“t- 5<K-liz)].

(8.3.28)

Из этого выражения видно, что компонента Е и внутри диэлектрического волновода может быть представлена как суперпозиция двух плоских волн. Направление распространения этих плоских волн определяется соот­ ношением

t g - a = ± i .

(8.3.29)

Угол а образован направлением распространения плоской волны н нормалью к поверхности раздела волновода с внешней средой. Вследствие явления полного вну­ треннего отражения плоские волны не могут покидать среду, если их угол падения на поверхность раздела больше угла полного внутреннего отражения. В пределе, определяемом формулой (1.6.23), получим

tga;:

sin a;

ts.3.30)

V'1 —sin2 a*

 

У ni­

Сравнивая формулы (8.3.27) и (8.3.30), видим, что правые части у них одинаковы. Выражение (8.3.30) характери­ зует предельный угол а ; полного внутреннего отражения, при котором плоские волны еще распространяются внутри диэлектрического волновода.

Существование направляемых мод физически можно объяснить следующим образом. Внутри диэлектрического волновода плоская волна распространяется под определен­ ным углом к поверхности раздела сред волновода. От этой поверхности плоская волна полностью отражается и при дальнейшем своем распространении, последовательно отра­ жаясь от двух (верхней и нижней) поверхностей раздела, колеблется между ними. Экспоненциально спадающее поле, существующее вне волновода, встречалось в разд. 1.6 как присущее волне, которая полностью отражается от поверх­ ности раздела диэлектриков. Такое объяснение механизма

Оптические волокна

399

распространения моды в плоском диэлектрическом волно­ воде справедливо для других диэлектрических волноводов,

ив частности для круглого оптического волокна. Из-за сложной геометрии круглого диэлектрического волновода механизм полного впутреинего отражения не является таким очевидным, как в плоском волноводе. Однако такие рассуждения не объяспяют наличие отсечки у одних мод

иотсутствие у других Угол, под которым плоские волны распространяются внутри плоского волновода, опреде­ ляется только путедг полного решения задачи о распростра­ нении воли.

ЧЕТНЫЕ ТМ-МОДЫ

Кроме ТЕ-мод, в плоском диэлектрическом волноводе существуют также ТМ-моды, для которых Н г = 0. Состав­ ляющие поля ТМ-мод можно найти из формул (1.4.16) — (1.4.19) и (8.3.1). Получим Е г, Ех и Н у. Обе электрические компоненты выразим через компоненту Н у с помощью формул (1.4.10) и (1.4.12)

Е.

i

dliy

(8.3.31)

и2сое0

dz

 

 

и

I

дВ,

 

Ez=

(8.3.32)

п2сое0

дх

 

 

Составляющая Ну получается как решение приведенного волнового уравнения1)

&ИУ

4 (?г2/с„ — р2) Ну= 0.

(8.3.33)

-------

дх2

‘

 

 

Составляющие поля

четных

ТМ-мод внутри

волновода,

| х | < d, имеют вид

 

 

 

Н у = В е c o s k x

(8.3.34)

и

ы

 

(8.3.35)

Е,

Be sin у,х,

 

п\ше0

 

 

Заметим, что уравнение (8.3.33) не удовлетворяется на гра­ нице раздела диэлектриков прн х — [сравните с формулой (9.5.2)]. Поверхности раздела диэлектриков х = ± d учитываются граничными условиями.

400 Глава 8

где х определяется из (8.3.11). Составляющие поля вне

волновода,

| х

\ >

d,

имеют вид

 

 

 

 

и

 

Ну = Веcos %de~vUх

 

(8.3.36)

 

 

X

гу

 

 

 

 

 

 

 

Е,

 

Веc o s x d e _ v(l-,c l - d ) .

(8.3.37)

 

 

 

I X |

П5(ОЕ0 “

 

 

 

4

'

Уравнение

собственных значений

находится

из условия

непрерывности

составляющей

E z при х = ±

d

 

 

 

 

 

lg x d = - 3 4 .

 

 

(8.3.38)

Мощность,

проходящая но волноводу через

единицу его

ширины (по оси

у),

получается из

формулы (1.2.12)

 

 

СО

 

 

 

 

с о

 

 

 

P = Y

\

(ExH *),di={

j

ExII*dx=

 

 

 

—со

 

 

со

 

—оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

Р

^ \ I

I y \*dx.

(8.3.39)

 

 

 

 

0)8о

0

 

 

 

 

 

Тогда амплитудный коэффициент имеет вид

 

 

Ве=

 

 

2(ое0п1Р

 

Л 1/2

 

(8.3.40)

 

 

, (n\ni)2

х 2+

"\>2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

‘

 

п‘Ы2-\-ajv2

 

 

НЕЧЕТНЫЕ ТМ-МОДЫ

Составляющие поля нечетных ТМ-мод внутри волновода

имеют вид

 

 

Ify= B0 sin хх

(8.3.41)

и

nf(oe0IX В0cos хх.

 

Ez=

(8.3.42)

Составляющие поля для

| х | > d имеют

вид

Я у= -Ат В0sin х de-*I* l-rf>

(8.3.43)

и

 

 

Ez= -Д —S 0 sin х de~vd* l-d>.

(8.3.44)

ajcoeo

 

 

Оптические волокна

401

Уравнение собственных значений получается обычным

способом с учетом граничных

условий

 

I

7

Щ х

(8.3.45)

Iо х а = ----з—

У

 

5

"Г

 

Коэффициент В 0 при этом может быть представлен в виде

В0=

2о)Е0п\Р_________1 1/2

(8.3.46)

{>цпг)2

X2 + у2

р[<Н

 

 

у

пЫ‘ 2+ п\уг

 

Опять оказалось, что выражения для амплитудных коэф­ фициентов четных и нечетных ТМ-мод аналогичны.

При условии (8.3.1) ТЕ- и ТМ-моды обеспечивают пол­ ный набор направляемых типов волн плоского диэлектри­ ческого волновода. Однако условие (8.3.1) является допол­ нительным ограничением в постановке задачи. Если его не вводить, считая, что поля изменяются в направлении оси г/, можно было бы получить намного больше мод. Эти дополнительные моды являются гибридными, они имеют все шесть компонент поля. Но для упрощения описания потерь на излучение и явления преобразования мод мы не будем изучать более сложные гибридные моды пря­ моугольного диэлектрического волновода х). Наложение условия (8.3.1) ограничивает задачу до такой степени, что ТЕ- и ТМ-моды полностью описывают волны, направ­ ляемые плоским волноводом.

8.4. МОДЫ ИЗЛУЧЕНИЯ ПЛОСКОГО ВОЛНОВОДА

Система направляемых мод, найденная выше, доста­ точна для описания распределения любого направляемого поля плоского волновода [при условии (8.3.1)]. Но эта система оказывается недостаточно полной для описания явления излучения из волновода. С помощью только этих воли нельзя учесть поле излучения. Поэтому систему направляемых воли диэлектрического волновода, имею­ щую дискретный спектр, необходимо дополнить системой волн с непрерывным спектром (модами излучения). Ана-

-1) О

модах

прямоугольного диэлектрического полиовода см.

в работах

[82*,

90*].— Прим. ред.

2G-0S7

Смотрите также файлы