Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 204

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

408

Глава S

 

Постоянные связаны

соотношениями

(8.4.30)

и

Fe = D*

 

 

De= ± C e* #

cos o d - i ^ - ^ y у sin ad j ,

(8.4.31)

a Ce выражается через мощность как

£ _~___________ 2>;fp2coe0P__________ —1/2

(8.4.32)

Рл ^ F ± . р2 cos2 a d -j- -рг ст2 sin2 a d j

НЕЧЕТНЫЕ ТМ-МОДЫ ИЗЛУЧЕНИЯ

Составляющие ноля внутри волновода, X | <C d, имеют

вид

НУ= Со sin ах,

Т*Т

/Т

 

Ь , = -----з----С0cos ах.

Для | х | ]> d имеем

Nfcoeo

 

 

 

Ez= -

-з£— [ZV -ip 1*1-

F&ip 1* ],

где

 

F0 = D t

 

 

 

 

D0= y

C0eipd |" sin ad-\- i

cos adj

И

2гс^р2согоР

1/2

С0 =

 

 

.

дР (—г- o2 sin2 ad+ -hLa2 cos2 ad)

_ 1 Vns

' '

■ п(

/_!

1

 

 

 

(8.4.33)

(8.4,34)

(8.4.35)

(8.4.36)

(8.4.37)

(8.4.38)

(8.4.39)

МОДЫ ИЗЛУЧЕНИЯ КРУГЛОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛОКНА

Моды излучения плоского волновода достаточно просто описываются с помощью тригонометрических функций. В отличие от них моды оптического волокна выражаются

намного

сложнее

через

функции

Бесселя. Для случая

v = 0 (что соответствует д/д ф =

0) эти моды рассмотрены

в работе

[99], а

для v =

1 —

в

[96].

Оптические ао.юкна

409

Моды излучения круглого оптического волокна могут быть выражены через функции Бесселя и Неймана. Имеется интересная математическая особенность, которую стоит обсудить. Мы уже видели, что граничные условия при г = а дают четыре уравнения для определения амплитуд­ ных коэффициентов в выражениях составляющих направ­ ляемых мод. Выражения для мод излучения содержат шесть неопределенных коэффициентов: два в выражениях поля внутри стрежня и четыре в выражениях цоля вие стрежня. Две дополнительные постоянные являются след­

ствием того, что моды излучения

содержат приходящие

и уходящие вдоль радиуса волны.

Один из шести коэффи­

циентов можно связать с мощностью, переносимой модой. Однако второй коэффициент остается неопределенным 1). Физическая причина этой математической загадки объяс­ няется следующим образом. Подобной проблемы не было при изучении мод излучения плоского волновода в силу разделения их на четные и нечетные. В случае круглого волновода такое разделение невозможно. Однако имеются две независимые смешанные моды, которые необходимо рассмотреть отдельно. Каждая мода содержит неопреде­ ленный амплитудный коэффициент. Если распростра­ няются две моды, то имеем два неопределенных коэффи­ циента. Именно такая картина имеет место в случае оптического волокна. Но эти моды можно разделить посред­ ством следующей процедуры. Если ввести произвольное линейное соотношение между' этими двумя неопределен­ ными коэффициентами, то получим одну моду излучения. Оставшийся неопределенный коэффициент обозначим через А |. Другая мода получается при использовании другого линейного соотношения между неопределенными коэффи­ циентами. Оставшийся при этом неопределенный коэффи­ циент обозначим через А г. Таким образом, имеем две произвольные моды 1 и 2. Чтобы полная система мод была ортогональной, моды 1 и 2 должны быть ортогональными. Выбор ортогональных векторов до некоторой степени произволен. Произвольность существует всегда, когда из двух линейно независимых и неортогональных векторов

1) В [ИЗ, заключение] дано условие, определяющее обсуждае­ мый неопределенный коэффициент (см. также [31*]).— Прим. ред.

410

Глава 8

образуют два ортогональных вектора. Два вектора можно объединить разными способами в два ортогональных вектора. Это обстоятельство можно использовать для упрощения соотношений между двумя дополнительными неопределенными коэффициентами. Результат процедуры ортогонализации мод излучения оптического волокна можно найти в [96]. Получающиеся уравнения достаточно сложные и неприменимы для простого объяснения физи­ ческих процессов, которые приводят к излучению из ди­ электрического волновода.

ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ НАПРАВЛЯЕМЫХ МОД И МОД ИЗЛУЧЕНИЯ

Итак, особенностью диэлектрических волноводов яв­ ляется наличие дискретного спектра направляемых мод и непрерывного спектра мод излучения. Необходимо исследовать диапазон возможных собственных значений (постоянных распространения) мод каждой части спектра. Для этого рассмотрим постоянные у и р. Известно, что направляемые моды существуют для действительных зна­ чений у. Используя соотношения (8.3.14) и (8.3.11) для действительных значений у и я, получим интервал возмож­ ных значений р для направляемых мод дискретного спектра

< I Pff I < М|А*о-

(8.4.40)

Моды излучения получаются из (8.4.6) для действительных значений р. Диапазон возможных значений р мод излуче­ ния состоит из двух частей. Для действительных зна­ чений р из формулы (8.4.6) получаем

0 < | Р г | < и а*о.

(8.4.41)

Этот диапазон не перекрывается с диапазоном постоянных распространения направляемых мод. Оба диапазона сты­ куются в точке п2к0. Существует также еще один диапазон возможных значений рг для действительных значений р. Этот диапазон задается мнимыми значениями р:

рг= —i | P r | ,

(8.4.42а)

где

(8.4.426)

0 < | Рг | < оо.

Оптические волокна

411

Этот диапазон значений (3 соответствует затухающим модам. Эти моды упоминались в разд. 1.3 и 1.6. Оказа­ лось, что затухающие моды в диэлектрическом волноводе также возможны, как и моды излучения.

Диапазоны возможных значений постоянных распро­ странения направляемых мод и мод излучения, показан­ ные па фиг. 8.4.1, одинаковы для круглого оптического волокна и плоского диэлектрического волновода.

Направляемые

Распро -

Направляемые

Imp страняющисся мо•

 

моды

ды излучения

моды

h

т

t

 

1

П

1— 1— м

________________________11 |

m i »

 

 

 

- л А

- " А

пгк0

n,kaRefi

 

 

 

 

 

Затухающие

моды

 

 

излучения

 

Фи г. 8.4.1. Спектры постоянных распрострапонпя Р направляе­ мых мод и мод излучения диэлектрических волноводов.

Затухающие моды непрерывного спектра необходимы для описания поля вблизи волновода *). Однако они не уносят мощность и поэтому не являются важными при изучении потерь на излучение направляемых мод диэле­ ктрических волноводов.

8.5. СООТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ

Моды плоского волповода, как и моды круглого опти­ ческого волокна, ортогональны друг к другу [97, ИЗ]. Вместо доказательства ортогональности мод посредством прямых вычислений дадим общее доказательство, спра­ ведливое во всех системах цилиндрической конфигурации. «Цилиндрическая конфигурация» означает, что моды не изменяются (исключая фазу) вдоль оси системы.

]) Это нс совсем правильно. Такие моды необходимы для опи­ сания локального поля вблизи источника. Они имеют место и при возбуждении волн в свободном пространстве при отсутствии волно­ вода.— Прим. ред.

Смотрите также файлы