412 |
Глава |
S |
|
Используя зависимость от времени (8.3.7), запишем |
уравнения |
Максвелла (1.2.1) |
и (1.2.2) |
в виде |
|
V х Н = |
г'соеЕ, |
(8.5.1) |
|
V x E = —йощН. |
(8.5.2) |
Предположим, что электрические и магнитные поля отно сятся к индивидуальным модам структуры, которые обоз
начаются индексами v |
и |
р. Применим формулу (8.5.1) |
к v-й моде и умножим |
ее |
комплексно-сопряженную ве |
личину на Е (1. Формулу (8.5.2) применим к р-й моден ум
ножим |
на |
Н*. Вычитание двух полученных уравнений |
и интегрирование приводят к соотношению |
|
со |
|
|
|
|
|
гы j |
(еЕц • Е? — р0Нц • Щ ) dx dy= |
|
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
= |
- |
j [E ^ .(V x H ;)-H ;(V x E ^ )]d a:d ^ |
(8.5.3) |
|
|
|
—00 |
|
|
Это |
же |
выражение можно |
записать в виде |
|
оо |
|
|
|
|
|
т j |
(еЕц,• Е* — р0Нц• Щ ) d x d y = |
|
—00 |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
j V.(H* x E J d x d y . |
(8.5.4) |
— оо
Подставляя в (8.5.4) зависимость от координаты z (8.3.7), получим
оо
гы j (еЕц-E* — р0Нц-Н*) dx dy =
— оо
со |
|
= i(IV-Pv) j |
(Н* х Е »)zd x d y - |
— СО |
|
|
оо |
- |
j Vr (H*.Etl)da:dj/. (8.5.5) |
|
— оо |
Оператор V, является поперечной частью оператора V. Интегрирование осуществляется по всему бесконечному
поперечному сечению в плоскости х, у. Ко второму инте гралу в правой части (8.5.5) можно применить теорему
V,.(Щ X ЕД dx dy= j (Щ X Ец) • n ds. (8.5.6)
с
Интегрирование справа осуществляется по контуру беско нечно большого круга С, у которого п — внешняя нормаль. Если одна или обе моды являются направляемыми, то их поле на бесконечности исчезает и интеграл в правой части (8.5.6) обращается в нуль. Однако интеграл обращается в нуль и в том случае, когда обе моды относятся к спектру излучения структуры. Последнее можно объяснить сле дующим образом. Моды излучения являются функциями координат х и у. Соотношения ортогональности для мод излучения полезны только в том случае, если они оказы
ваются под интегралом, |
который берется по v или р. |
Индексы мод излучения |
изменяются непрерывно. |
Для |
v ф р интегрирование по бесконечному интервалу v |
или |
р в результате дает нуль для всех выражений, которые содержат быстро меняющиеся сомножители с бесконечно большими аргументами. Аналогичные соображения при водят к дельта-функции (8.4.16), равной нулю для х ф 0. Таким образом, интеграл справа в (8.5.6) обращается в нуль для всех мод, для которых v ф р. Получаем важ
ное соотношение
оо
(Pv—М j (EtlxH*)2di-dy=:
— оо
оо
= со ^ (еЕц-Е^ —р0Нц-Н*)йа:йг/. (8.5.7)
— ОО
Индекс z отмечает z-io компоненту векторного произведе ния. Возьмем комплексно-сопряженную величинуот(8.5.7), поменяем индексы v и р и вычтем полученное уравнение из первоначального уравнения (8.5.7). В результате полу чим
ОО
(Pv-Pn) J [(Е^хН*)г+(Е * x B ^ d x d y ^ O . (8.5.8)
414 Глава 8
При Pv Ф Рд
СО |
|
j [(Ед ХН?)2+(Е * x H ^ l d i i ^ O . |
(8.5.9) |
Как впдио из рассмотрения (1.4.16) — (1.4.23), уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований вида
р — |
р. |
Ez- + - Е г, |
Иг |
|
Ех |
(8.5.10) |
Еу -*~-\-Еу,
Их Ну - + - Н у
Преобразование (8.5.10) переводит любое данное решение уравнений Максвелла в другое решение этих уравнений. Соотношение (8.5.9) удовлетворяется для любых двух модовых решений уравнений Максвелла. Преобразуем р-го моду (но не v-io) согласно (8.5.10). Так как уравне ние (8.5.9) удовлетворяется для любых двух модовых решений, то оно распространяется и иа новую комби нацию моды v и преобразованной моды р. Таким образом, имеем
J00 |
[(Ей х Н* )г— (ЕС, X Нц)г] dx dij = 0. |
(8.5.11) |
Прибавив (8.5.11) к (8.5.9), получим |
|
оо |
|
|
j |
(Ер. X H*)zdxdy = 0 для v=£p. |
(8.5.12) |
— ОО
Заметим, что переход от (8.5.9) к (8.5.12) невозможен при Ри = —Pv Выражение (8.5.12) представляет требуемое соотношение ортогональности между двумя модами в лю бом диэлектрическом волноводе без потерь. Если волновод с потерями, собственные значения pv и р^ становятся ком плексными и вывод соотношений ортогональности пе может
быть проведен так, как здесь. Соотношение (8.5.12) спра ведливо для любых двух люд v, р, где v-я и р-я — на правляемые моды, или одна из них направляемая, а'дру гая — мода излучения, или обе являются модами излуче ния. Равенство (8.5.12) выполняется, когда правая часть
равенства |
(8.5.7) |
обращается в нуль как при v ф р, |
так и при |
v = р. |
Однако люда не ортогональна такой же |
люде, распространяющейся в противоположном направле
нии, т. е. при Рц = —Pv
Выражение (8.5.12) можно непосредственно исполь зовать для установления нескольких полезных соот ношений для конкретного случая мод плоского волновода. Форл[улу (8.3.12) можно расширить таш-ш образом, что для
двух любых |
направляемых ТЕ-люд независимо |
от того, |
четные они, |
нечетные или слюшаниые, илгоет место соот |
ношение |
|
|
|
оо |
|
|
j EyyE ^ d x = Pb^, |
(8.5.13) |
|
— оо |
|
где 6V|l — сил1Вол Кронекера, который равен |
нулю для |
v ф р и единице для v = р. Соотношение ортогональности |
для четных или нечетных ТЕ-люд излучения уже установ
лено в |
(8.4.11). |
|
|
Для паправляелгых ТМ-лгод в качестве расширения |
(8.3.39) |
получил! |
|
|
|
Jоо |
i n vuI-nvdx = P8Vii. |
(8.5.14) |
—оо
Соотношение ортогональности для ТМ-мод излучения илге-
ет вид
ОО
- ^ H y (p)H*v (p')dx = P H p - p ' ) . (8.5.15) —00
Соотношения ортогональности (8.5.13) и (8.5.14) спра ведливы также, если одна из люд является лгодой излу чения, а другая — направляелюй лгодой. В этом случае правые части обоих выражений обращаются в нуль.
Любое произвольное распределение поля плоского волновода лгожпо выразить в виде ортогональных мод
416 Глава 8
волновода. Можно, |
например, |
записать |
|
|
|
со |
|
Е« = 2 |
cvSv.v+ 3 |
J д(р)ЯЛРИр. |
(3-5.16) |
v |
|
О |
|
Первая сумма распространяется па все четные и нечетные ТЕ-моды, а комбинация из суммы и интеграла распро страняется на все моды излучения. Символ суммирования показывает, что в разложении поля должны использовать ся четные и нечетные моды. Другие составляющие поля можно представить подобным образом.
Коэффициенты разложения легко получаются с помо щью соотношений ортогональности. Для случая (8.5.16), используя формулу (8.5.13), получим
ОО |
|
cv— 2o!jt0/j j EyE*udx. |
(8.5.17) |
— СО
Аналогично с помощью формулы (8.4.11) находим
СО |
|
q<'P')"= l ^ P I EvEu(P)dx. |
(8.5.18) |
—ОО
Вобщем случае коэффициенты разложения cv и q (р) являются фунциямн от z.
Для составляющей Н у получим разложение в виде ТМ-мод
|
СО |
|
IIу= 2 dvIIVy + 2 J р (Р) 11у (Р) ^ |
(8.5.19) |
v |
О |
|
где |
|
|
ОО |
|
|
|
|
(З-5-20) |
— ОО |
|
|
И |
|
|
ОО |
|
|
J |
- р - а д ( Р ) ^ - |
(8.5.21) |
— ОО |
|
|
Мощность Р полагалась одинаковой для всех мод. Удобпо использовать для Р единицу мощности, например 1 Вт.
