Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 202

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оптические аолокнд. Ail

Фактический вклад мощности каждой моды в разложениях поля (8.5.16) и (8.5.19) определяется значениями коэффи­ циентов разложения.

Для поля, составляющими которого являются Н 2, 1/х, Еу, полная переносимая мощность дается выражением

 

оо

 

^ = p { 2 k v | 2,+*

2 J 1?(Р)ГФ }-

(8.5.22)

v

О

 

Это соотношение получается из первой или второй части (8.3.17) с помощью (8.3.2) и соотношений ортогональности

(8.5.13) и (8.4.11).

Разложение произвольных полей по ТЕили ТМ-модам возможно только для таких полей, которые удовлетво­ ряют условию (8.3.1). Поля более общего вида можно разложить только по всем модам плоского волновода. Выражения (8.5.16) и (8.5.19) формально, конечно, пра­ вильные. Р1еобходимо только в общем случае рассмотреть суммирование разложений по всем возможным модам волновода х).

Возможность разложения произвольных полей по мо­ дам направляющей структуры чрезвычайно полезна для многих задач. Вопросы преобразования мод и потерь на излучение будем излагать, используя метод разложения по модам. Задача решения уравнений Максвелла для произвольных полей сводится при этом к системе обыкно­ венных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения cv и q (р) [ИЗ]. Точное решение системы этих уравнений достаточно сложно, однако они оказы­ ваются более удобными при решении методом возмуще­ ний 2).

8.6. ПОЛЕЗНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Свойства направляемых мод определяются значениями их постоянных распространения. Постоянная распро­ странения находится из трансцендеитного уравнения

*) Если сказать точнее, то необходимо еще суммирование или интегрирование по модам, соответствующим вариации поля по вто­ рой поперечной координате.— Прим. ред.

2) В общем случае методом последовательных приближений.—

Прим. ред.

27-087

418

Глава 8

собственных значений,

поэтому в явном виде она обычно

не получается. Однако для случаев, имеющих практический интерес, можно найтн полезные приближенные реше­ ния. В настоящем разделе получены некоторые прибли­ женные решения уравнения собственных значений (8.2.70) круглого оптического волокна и уравнений собственных значений (8.3.16) и (8.3.23) ТЕ-мод плоского волновода. Соответствующие результаты для ТМ-мод аналогичны и приводятся здесь без вывода.

Начнем с рассмотрения плоского волновода. Постоян­ ные распространения четных ТЕ-мод получаются из уравнения

 

 

 

 

(8.6.1)

а

нечетных

ТЕ-мод — из

уравнения

 

 

 

tg K d = —^ .

(8.6.2)

Вводя обозначение

 

 

 

 

V = \

п\ — n\kad,

(8.6.3)

в

котором

к0 определяется формулой (8.3.6),

получим

из (8.3.11) н (8.3.14) следующее соотношение между по­ стоянными х н у :

(xd)2+(T>d)2= V 2.

(8.6.4)

При отсечке имеем

(8.6.5)

yd = 0

Из формулы (8.6.4) вндпо, что xd и V при отсечке одина­ ковы:

(xd)c= F c= v - |- , v=

0, 1, 2, 3, ... .

(8.6.6)

Последняя часть соотношения

(8.6.6)получается

с по­

мощью фиг. 8.3.1, где представлены графически решения уравнений собственных значений (8.6.1) и (8.6.2). Четные значения v принадлежат четным ТЕ-модам, а нечетные — нечетным. Выражая xd в виде

x d = v ~ И >

(8.6.7)

 

Оптические волокна

419

где 11 <С li Для четных ТЕ-мод (v — четное) из формулы

(8.6.1) получим

y d = v ^ - г|.

(8.6.8)

Из формул (8.6.4) п (8.6.6) находим, что для первого порядка по 1]

Tj= 7 - v - J .

(8.6.9)

Таким образом, получаем приближенное решение (8.6.4) для четных ТЕ-мод плоского волновода при условиях, близких к отсечке,

yd = v ^ ( V - v ^ ) .

(8.6.10)

Аналогично, используя нечетныезначения

v, опять

получим соотношение (8.6.8) из уравнения собственных значений (8.6.2) для нечетных ТЕ-мод. Таким образом, вблизи отсечки решение (8.6.10) справедливо для четных и нечетных ТЕ-мод плоского волновода. Чеаиые моды получаются для четных значений v, а нечетные моды — для нечетных значений v.

Единственным исключением из этого правила является четная ТЕ-мода низшего порядка, частота отсечки кото­ рой равна нулю. Для Vc = 0 наше рассмотрение неверно.

Около отсечки для четной моды низшего порядка

xd

1

и из формулы (8.6.1) получаем

 

 

yd = (xd)2.

(8.6.11)

Если заменить xd с помощью формулы (8.6.4), то получим квадратное уравнение для yd с решением

7 Й = у (/4 У 2+ 1 - 1 ) .

 

(8.6.12)

Постоянная распространения получается

из

(8.3.14).

С помощью формулы (8.6.10) около отсечки

для

четных

и нечетных ТЕ-мод, исключая моду низшего порядка, получаем приближенное выражение

№ = Y (naM )a+ v a - ^ - ( y - v - J ) 2.

(8.6 13)

2 7 *

420 Глава S

Для четной ТЕ-моды низшего порядка из формул (8.3.14) и (8.6.12) находим

№ = ] / (n2k0d)-+ 1 (1 + 2У2- V 1 + 4У3) • (8.6.14)

Параметр У определяется формулой (8.6.3). Можно также получить приближенные решения уравнений собственных значений вдали от отсечки. Для этого используем метод, который был успешно применен Снайдером [90, 92].

Рассмотрим ш1 как функцию от У н продифференци­ руем (8.6.1) по У

1

0 № ) _ _ ____ yd

d(Kd)

у

(дип д

 

,8

 

*

дУ

 

 

cos2xd

dV

(xd)2

dV

"T”

(xd) {yd)

'

\

I

Для выражения yd через xd и У было использовано соотношение (8.6.4). Из формул (8.6.1) и (8.6.4) получим

cos2 xd=

(xd)2 _

 

(8.6.16)

J/2

 

(«1 — «5) Ч

 

 

 

 

Это позволяет представить

равенство (8.6.15)

в виде

д (xd)

_

 

xd

 

(8.6.17)

dV

'

К (1 -f-yd)

'

 

Вдали от отсечки yd

1

и

У

1, так что из

(8.6.4)

приближенно получим yd — У. Уравнение (8.6.17) тогда примет вид

д(xd) _

xd

(8.6.18)

<9К — У(1 + й)

 

При У —>■ оо пз фиг. 8.3.1

видно, что

в случае четных

ТЕ-мод

 

 

x d = (v + l)4 L ,

(8.6.19)

где v = 0, 2, 4, . . . . Таким образом, находим, что реше­ ние дифференциального уравнения (8.6.18) имеет вид

^ = ( v + l ) T T T v -

<8'6'2С1)

Выражение (8.6.20) определяет не только собственные значения уравнения (8.6.1) для четпых ТЕ-мод плоского

Смотрите также файлы