ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 166
Скачиваний: 0
510 |
Глава 9 |
от, почему на изгибе диэлектрических волноводов мощ ность должна теряться на излучение 1).
Математическое рассмотрение проблемы потерь на из гибе основано на использовании того, что для очень сла бых изгибов распределение поля и фазовая скорость около сердцевины волновода почти такие же, как для прямого волновода. Известен также точный вид, который поле должно принимать в цилиндрической системе координат. Используем систему координат, приведенную на фиг. 9.6.2.
Ф и г. 9.6.2. Система координат, используемая для описания по терь па излучение изогнутого плоского волновода.
Ось у (ее обычно используют как ось г), цилиндрической системы координат выходит из плоскости чертежа. Реше ние уравнений Максвелла в цилиндрических координатах дается в виде
ЕУ— ВН™ (пгк0г) е>(и‘-тф)) |
(9.6.1) |
||
Нт= В 4 т - - Я ; 2>(n2k0r) |
(9.6.2) |
||
|
*0 |
^ |
|
Яф= - |
i B X ^ - I i y ' (n2k0r) |
(9.6.3) |
|
*) Изложенная |
здесь |
идея физической причины |
излучения |
с изгиба, впервые высказанная в работе [114], была пспользовапа для количественного расчета потерь па излучение круглого диэлек трического волновода в [111*].— Прим. ред.
Нерегулярные диэлектрические еилповоды, |
511 |
где А’о — ш У е0|л.0 н продиолагаотся, что отсутствует зави симость поля от у. Это решение справедливо только для 7->Ь, т. е. вне сердцевины волновода. Внутри сердце вины поле описывается суперпозицией функций Ханкеля первого и второго рода, а вне сердцевины для г ^ а выра жается через функцию Бесселя / v (n2k0r). Штрих у функ ции Ханкеля в (9.6.3) обозначает ее производную по аргу менту n2k0r. Выбор функций определяется требованием, согласно которому поле должно спадать экспоненциально в направлении увеличения г при г > b н превратиться в распространяющуюся волну при г Ъ. Функция Ханкеля второго рода удовлетворяет этим требованиям. Внутри волновода нужно использовать функции Ханкеля первого и второго рода или функции Бесселя н Неймана. Для г < а необходимо взять цилиндрическую функцию, которая не имеет особенности при г = 0. Единственной функцией, удовлетворяющей этому условию, является J v (n2k0r). Порядок v цилиндрической функции в данной задаче не обязательно должен быть целым числом, так как нет необ ходимости, чтобы функции изменялись периодически по ф с периодом 2л. Для данного рассмотрения не требуется определять поле внутри сердцевины волокна и для г < а.
Представление решения в виде (9.6.1)— (9.6.3) опреде ляется требованиями геометрии и уравнениями Максвелла. Если положить, что поле не зависит от у и изогнутый слой неограниченно простирается в направлении оси у, поле не может иметь другой формы. В то же время известно, что в пределе при Я — оо поле около сердцевины должно принимать внд (8.3.12), соответствующий симметричной ТЕ-моде прямолинейного плоского волновода.. Это усло вие позволяет определить постоянную В. Зная этот пара метр, с помощью уравнений поля можно найти мощность, текущую в радиальном направлении на бесконечном рас стоянии от волновода. Полученный результат можно использовать для определения потерь направляемой моды.
Строгий метод решения задачи, конечно, требует опре деления неизвестных амплитудных коэффициентов из гра ничных условий. В результате можно получить уравне ние собственных значений для определения v. Это урав нение не имеет действительных решений. Комплексные значения v определяют потери моды. Такая процедура при-
512 |
Глава 9 |
водит к точному решению задачи [106, 114]. Однако она намного сложнее следующего приближенного метода. Обойдем необходимость вычисления v из уравнения соб ственных значений, полагая, что постоянная распростра нения волны в изогнутом волноводе почти такая же, как постоянная распространения соответствующей моды в пря молинейном волноводе. Сравнение с модами прямолиней ного волновода дает соотношение
v<j> = [3z. |
(9.6.4) |
Координата отсчитывается здесь вдоль дуги изгиба оси волновода, z = R<j>. Порядок функции Бесселя опреде ляется, таким образом, выражением
v = рд. |
(9.6.5) |
Предполагается, что постоянная распространения |3 такая же, как у четной ТЕ-моды прямолинейного плоского вол новода. Она получается как решение уравнения собствен ных значений (8.3.16).
Для определения константы В необходимо аппроксими ровать функцию Ханкеля. Из формулы (9.6.5) следует, что v — величина того же порядка, что и аргумент функ ции Бесселя п2к0г. Введя ось х, как показано на фиг. 9.6.2, получим соотношение
|
|
г = R + X. |
|
|
(9.6.6) |
Отношение порядка к аргументу есть |
|
|
|||
ch а |
v |
_ Р_ _ L _ |
Р |
( ‘ |
i ) . (9.6.7) |
|
Л2/с0г |
«2*0 aj_ £_ |
« 2*0 |
|
|
|
|
1 Л |
|
|
|
Постоянная распространения моды больше постоянной распространения плоских волн в среде вне сердцевины:
P > « 2&0- |
(9.6.8) |
При х = 0 отношение (9.6.7) больше единицы. Однако, так как х возрастает, величина (9.6.7) должна в конечном счете стать меньше единицы. Однако для больших R и малых х можно считать, что отношение (9.6.7) больше
514 |
Глава i) |
Подстановка |
в (9.15.13) дает |
а ^ « = Ш Г + - г Ш ‘ + т Ц ) ’ + . . .
(9.6.15)
Бесконечные ряды в правой части (9.6.15) можно , снова свернуть с помощью (9.6.12); выражение в квадратных скобках является просто геометрической прогрессией. Таким образом, можно записать
а — th |
1 |
(»2^о)2 |
уж |
(9.6.16) |
|
Р37? |
1 —(Y/P)2 |
||||
|
Р |
|
|||
Используя |
равенство |
|
|
|
|
|
(У \ 2 |
_ ("2^о)2 |
|
(9.6.17) |
|
|
VР I |
— Р2 |
|
||
|
|
|
из формул (9.6.5), (9.6.9), (9.6.11), (9.6.16) и (9.6.17)
окончательно получим
H{2](nzk0r) =
= ------ |
exp (р/? Аг lh — у/О е~Ух. |
(9.6.18) |
V b R
Видно, что поле в виде (9.6.1), если аппроксимировать его с помощью (9.6.18), зависит от х так же, как поле в фор муле (8.3.12). Сравнение двух выражений дает амплитуд ный коэффициент В в виде
B = i V ^ i r v R y
2(0ц0Р cos KfZe^e-tP Ar th (y/P)-y]h.
N + -&-
У
(9.6.19)
Вычисление потерь на изгибе теперь не представляет труда. Коэффициент потерь мощности определяется отно шением вклада мощности от единичной длины волновода в поле излучения на бесконечности к мощности Р,