Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Эти соотношения не являются строгими. Для точного выражения полей необходимы дополнительные малые члены. Полные электрическое Е и магнитное II поля удо­ влетворяют уравнениям Максвелла

в которых п2 выражается формулой (10.2.1). Подстановка выражений (10.2.6) и (10.2.7) в (10.2.8) и (10.2.9) приво­ дит к уравнениям

Используя (10.2.1), (10.2.4) и (10.2.5), можно упростить эти уравнения, так что они принимают вид

г)Л.

(z X И,) — £юе0 {п\ — п°-) *41Е!—|—

означает, что угловая частота со и постоянная распростра­ нения р заменены в этих величинах на отрицательные значения. Это необходимо для устранения временной зави­ симости из уравнений. Если ограничиться рассмотрением действительных зпачепий показателей преломления, то вместо Ет и НТ можно использовать комплексно-сопряжен­ ные значения полей. Однако мы предполагаем, что пока­ затели преломления могут быть комплексными, что озна­ чает наличие потерь в средах, составляющих волновод. Проинтегрируем полученное уравнение по бесконечному поперечному сечению

—гсое0 ( щ — щ ) A jE j • E t —

—(coe0(»j — /г®) H2Ej -E2} dxdy = 0. (10.2.14)

Можно упростить это уравнение, пренебрегая малыми членами. Выражение п\ — п\ равно нулю вне области второго волновода. В области же, где это выражение от­ лично от нуля, поле первого волновода всегда очень сла­ бое. Содержащий это выражение член умножается на квад­ рат Е). В результате получается величина второго поряд­ ка малости, которой можно пренебречь. Произведение ET-(z х Hi) является членом нулевого порядка. Произве­ дение (щ — щ) Ej • Е2 есть малая величина первого порядка, так как разность квадратов показателей пре­ ломления пе равна нулю в области первого волновода, где Ei величина нулевого, а Е2 — величина первого порядка малости. Такое сравнение порядков величин паводит на мысль, что производные dA/dz являются вели­ чинами первого порядка малости. Поскольку произведе­ ние ЕТ-{г х Н2) есть малая величина первого порядка, из-за того, что поля волноводов перекрываются лишь незна­ чительно, член с dAJdz есть малая величина второго порядка и им можно препсбречь. Сохрапяя только члены

норного порядка, полупим уранпеппо

(10.2.15)

Аналогично, умножая (10.2.12) и (10.2.13) на Ео и Щ, получим уравнение

$ I z • (Ё7 х Н1+ Ej X Й7) dx dy

— СЮ

II

с о

) J (из — гг§) Ё7-Ё, dx clу

Коэффициенты связи (10.2.17) и (10.2.18) не зависят от z. Чтобы подчеркнуть, что член exp (± i(3vz) был отброшен,

мы использовали запись вида Еь Ej и т. д., введенную в (10.2.2) и (10.2.3). Напомним, что величины с отрица­ тельными верхними индексами получаются при замене знака со и р. При переходе от (10.2.14) к (10.2.15)—(10.2.18)

использовалось то обстоятельство, что амплитуды А\ и А г не зависят от поперечных координат х н у и поэтому их можно вынести из-под знака интеграла. Члены со сме­ шанными скалярио-векториымн произведениями преобра­ зовывались с помощью хорошо известного векторного тождества.

Как показало исследование, уравнения связанных волн (10.2.15) и (10.2.16) не являются точными. В добав­ ление к тому, что мы пренебрегли членами второго поряд­ ка малости, мы ограничили еще рассмотрение только двумя модами. Даже если два волновода расположены близко друг к другу и поддерживают только одну направ­ ляемую моду, все равно сохраняется возможность сущест­ вования связи с модами излучения. Если волноводы много­

медовые, то все моды в некоторой степени связаны между собой 185—87J. Таким образом, при учете в уравнениях связанных волн только двух мод мы получаем приближе­ ние. Однако вскоре мы увидим, что только моды с одина­ ковыми фазовыми постоянными распространения могут обмениваться значительной величиной энергии. Ограни­ чиваясь в уравнениях связанных волн только двумя модами, получаем фактически очень хорошее приближе­ ние, позволяющее изучать обмен энергией между двумя модами с высокой точностью. Мы уже сталкивались с подобной ситуацией в разд. 9.3.

Уравнения связанных волн часто записывают в не­

формулы (10.2.15) и (10.2.16) можно записать в достаточно известной форме [88]:

Эти уравнения имеют такой ясный физический смысл, что их можно было бы записать без вывода. Однако наше рас­ смотрение имеет преимущество в том, что значения коэф­ фициентов связи определяются достаточно точно. По­ скольку коэффициенты Hi (х , у) и п2 (х , у), как и постоян­ ный показатель преломления окружающей среды п3,

В случае сред без потерь показатели преломления вещест­ венные и выражения (10.2.17) и (10.2.18) можно упростить. Для вещественных значений щ, пг п п3 вместо Е! можно использовать комплексно-сопряженную величину Е *1). Выражение в знаменателе можно интерпретировать как 4Р,

J) Из приведенного выше вывода не так очевидно, что состав­ ляющая Ер использована здесь вместо E f . Этот результат более наглядно представлен в [103]. Он следует из того, что Ер должна быть решением уравнений Максвелла, в которых со н р заменены нх отрицательными значениями, а щ н пг остаются неизменными.

528 I'.ища 10

где Р — мощность моды в волноводе 1 (при A t = 1). Если

Легко показать, что для вещественных значений с4 и с2 условие (10.2.23) представляет собой требование сохране­ ния мощности, переходящей из моды в моду. С помощью

где Re — обозначает вещественную часть при условии, что Pi н р2 вещественные. Слева в этом соотношении стоит производная по z от полной мощности, переносимой в обо­ их волноводах. Она обращается в нуль, если мощпость сохраняется. Поскольку а4 (0) п а2 (0) можно выб])ать произвольно, получим следующее условие сохранения мощности:

ci=c*. (10.2.24)

Равенства (10.2.24) и (10.2.23) совпадают для веществен­ ных значений с4 п с2.

Легко видеть, что значительная часть мощности пере­

(по крайней мере в начале участка, когда Ai (z) еще ие изменится существенно). Такое рассмотрение показывает,