Снизь между диэлектрическими- /тлиоиодими |
529 |
что величина А г (г) может быть значительной, если посто янные распространения обеих мод одинаковы. Это являет ся причиной того, что теория связанных волн, в которой рассматриваются только две моды, применима даже в слу чае многомодовых волноводов, поскольку значительный обмен мощностью возможен только между модами с равными фазовыми скоростями. Однако, если коэффи циенты связи не постоянны и зависят от координаты z, двухмодовая теория не применима к многомодовым вол новодам.
Уравнение связанных волн с постоянными коэффициен тами имеет следующее простое решение при Pi = Рг = Р:
Я | ( г ) = у | «1 ( 0 ) [е’Д |
е - г Дрг ] |
|
-\- f/r | U 2 (0) [в“ Р* —в -**]} |
(10.2.26) |
и |
|
|
[аг {0) [е^Р*+е-*АР*] + |
|
+ |
а, (0) [е’ДРг —е-’ДР2] j е-*Рг, |
(10.2.27) |
где |
__ |
|
|
Др= ]/ CjC2. |
(10.2.28) |
Члены в этом решении сгруппированы так, чтобы лучше были видны первоначальные значения а4 и а2 при г — 0 . Перегруппировав члены, получим, что решения представ ляют собой суперпозицию двух новых мод с фазовыми постоянными
Р+ = |
р + |
Др |
(10.2.29) |
и |
р - |
Др. |
(10.2.30) |
Р_ = |
Два связанных волновода, таким образом, обладают нор мальными модами с несколько измененными постоянными распространения (10.2.29) и (10.20.30). Если коэффициен ты связи вещественны, то Др — также вещественная вели чина. Полагая для простоты а2 (0) = 0, из формул (10.2.26) и (10.2.27) с использованием (10.2.24) получим
a, (z) = a1 (0) cos (Дрг) e-i|3z |
(10.2.31) |
530 |
Гликп. 10 |
|
И |
а2 (z)=^ial (0) sin (A£z) e_iK |
(10.2.32) |
|
Это решение ясно показывает, что при вещественных зна чениях Pi = р2 происходит непрерывный обмен энергией между двумя волноводами. Если, однако, величина Д|3 не является вещественной, то ехр (—iA|3z) уменьшается, а ехр (+ iAflz) возрастает (пли наоборот). Для достаточно больших значений z один из двух множителей становится пренебрежимо малым. Тогда имеем
fli (z)= y щ (0) е-КР+лР); |
(10.2.33) |
и |
|
a2(z) = 4 - l / ^ Я! (0) е-НР+ДР); |
(10.2.34) |
—г |
|
при условии, что а2 (0) = 0. Хотя обе амплитуды мод уменьшаются, при комплексном Д(3 оба волновода перено сят равные количества мощности (при условии, что cjc2не отличается существенно от единицы) после прохождения модами достаточно большого расстояния, несмотря па то, что первоначально возбуждался только один из волново дов. Периодический обмен мощностью при этом прекра щается и мощности в обоих волноводах выравниваются.
С целью изучения перекрестной связи достаточно рассмотреть передачу небольшой мощности, так как эта связь обычно является нежелательной и всегда ее стараются сделать по возможности малой. Сначала предположим, что первоначально вся мощность сосредоточена в волноводе 1 , аг (0) = 0 и Aflz 1 на конце участка связи волноводов при z = L. Из формулы (10.2.27) находим
До ( Г )
(10.2.35)
“1 (0)
Из выражения (10.2.26) получаем в том же приближении
aL(L) = al (0) e -’PL. |
(10.2.36) |
Мощность в каждом волноводе пропорциональна квадра ту амплитуды поля. Отношение мощностей на концах двух волноводов равно
Г _ КИМР |
С2 |
( I Ар | А)'2. |
(10.2.37) |
I “1 НО I3 |
|
|
|
|
Сйлль межОу Очэлектрчческим'и вЧлповчОами |
53d |
13 большинство практических случаев можно считать, что соотношение (10.2.24) выполняется по крайней мере при ближенно, так что окончательно получаем достаточно хорошее приближение
Важно помнить, что это соотношение справедливо только при С 1.
Итак, в этом разделе показано, что два диэлектриче ских волновода влияют друг на друга, если они распола гаются достаточно близко друг от друга. Связь между волноводами можно выразить с помощью двух уравнений связанных волн с постоянными коэффициентами связи. Связь вызывается тем, что часть поля направляемой моды одного волновода достигает другого волновода. Рассма триваемая теория связи справедлива для любого типа диэлектрических волноводов независимо от распределе ния показателя преломления по сечению волновода. Не обязательны также идентичность волноводов и мод в них, а также допустимо наличие потерь в диэлектрической среде волновода и в окружающей среде. Единственное требование для осуществления связи состоит в том, чтобы постоянные распространения двух мод были почти одина ковыми. Если в каждом волноводе может существовать только одна мода, это требование можно значительно ослабить. Одпако моды с разными постоянными распро странения ие связаны эффективно при постоянных коэффициентах связи. Таким образом, действительно интересным является случай, когда обе моды имеют оди наковые фазовые скорости.
10.3. СВЯЗАННЫЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНОВОДЫ
Применим теперь общую теорию связи к двум кон кретным случаям. В этом разделе рассмотрим связь двух одинаковых параллельных плоских волноводов, изобра женных на фиг. 10.3.1. Коэффициенты связи для задачи двух связанных одинаковых мод можно найти, используя формулу (10.2.22) из предыдущего раздела. Применение формулы (10.2.22) вместо (10.2.17) допустимо, если считать, что показатели преломления сердцевины и оболочки пс и пт — величины вещественные. Окружающая среда
может иметь комплексный показатель преломления п3, но для того чтобы можно было применять формулу (1 0 .2 .2 2 ), необходимо предположить, что оболочка является доста точно толстой и потери моды, вызванные окружающей средой, незначительны. Это вполне естественное предпо ложение, так как волноводы целесообразно использовать
Волновод / |
Волновод 2 |
Ф и г . 10.3.1. Схематическое |
изображение днух связанных пло |
ских волноводов в оболочке [103].
тогда, когда они направляют волны с низкими потерями. Проблема связи волноводов может быть решена более прямым путем. Сначала можно решить задачу о направляе мых модах объединенной структуры (фиг. 10.3.1). Для вол новодов в оболочке такой подход является трудно осущест вимым. Однако в предельпом случае при пт — п3 этим способом легко решить задачу о модах комбинированной
Связь между диэлектрическими волноводами |
533 |
структуры. Читателю предлагается проделать такой рас чет в качестве упражнения. С приемлемыми приближения ми такой прямой метод приводит к выражению (10.3.12).
Изложим кратко решение задачи связи двух плоских волноводов в оболочке. Даже с помощью формулы (10.2.22) эту задачу трудно решить строго [при рассмотрении величины (1 0 .2 .2 2 ) как точной]. Одиако если допустить, что поля мод спадают до малых значений на границе оболочки при х = D, то можно существенно упростить теорию. Начнем с рассмотрения ТЕ-мод плоского волново да. Составляющая электрического поля выражается в виде
Heosxa:, |
Osglz^d, |
(10.3.1) |
ВеУх-\-Се~Ух, |
d ^ x s C j), |
{Fe рх, |
D^C.x<C. оо. |
|
Функция (х) предполагается непрерывной и симметрич ной относительно пуля. Параметры, входящие в (10.3.1), равны
— «в]/ е0р0, |
(10.3.2) |
х = У ?i'ckl — (И, |
(10.3.3) |
у = У Р - п М 1 |
(Ю.3.4) |
р= )/ р2— п?/с„. |
(10.3.5) |
Соотношение между Еу и Еу задаетсяформулой (10.2.2). Составляющая магнитного поля получается из (10.3.1) с помощью формул (8.3.2) и (8.3.3). Теперь положим
g-v(n-rf) 1 . |
(10.3.6) |
Пренебрегая квадратами этих велпчип, получим *) |
В = 0, |
(10.3.7) |
С = Aevdcos xd, |
(10.3.8) |
F = ______ ---------------- epDe —y(D—d) |
(10.3.9) |
(Y + P) V x2+ Y2 |
|
Приближение В = 0 было сделано после вычисления F.
