Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

При рассмотрении системы кулоновских частиц наибольший вклад среди неприводимых диаграмм дают так называемые кольцевые диаграммы, которые соответствуют взаимодействию каждой частицы лишь с двумя соседними (т. е. в каждой вер­ шине графика сходятся две линии). Примеры кольцевых диа­ грамм третьего, четвертого и пятого порядков представлены на

мого числом способов построения кольца, неприводимые коль­ цевые интегралы имеют вид:

Как было показано во второй главе, f(r) представляет со­ бой не что иное, как бинарную функцию корреляции. Тогда, если плазма слабо неидеальна, т. е. амплитуда рассеяния ре2 мала по сравнению со средним расстоянием между частицами, бинарную функцию корреляции можно приближенно записать

в виде

Отметим, что линейный по р член обращается в нуль вследст­

вие требования квазинейтральности плазмы.

В первом приближении можно учесть поправку к давлению идеального газа, считая амплитуду рассеяния очень малой, т. е. формально устремляя / = ре2 к нулюТогда для кольцевого груп­

60

пового интеграла рк>0, соответствующего диаграмме с (7с+1) вершинами, имеем выражение

Второй член в правой части представляет собой дебаевскую по­ правку к давлению идеального газа.

Учет следующих членов разложения по малому параметру приводит к дальнейшим поправкам по плотности п к термоди­ намическим функциям системы.

§ 7. О ДИАГРАММНОМ МЕТОДЕ В ТЕРМОДИНАМИКЕ ПЛАЗМЫ. АНАЛОГИЯ С ДИАГРАММАМИ ФЕЙНМАНА

Метод термодинамических, или температурных, функций Грина, к обсуждению которого переходим, является одним из

ных вариантах интенсивно разрабатывался как советскими, так и зарубежными теоретиками. Подмеченная в 1955 г. японским физиком Мацубара [5] аналогия между матрицей рассеяния S в квантовой электродинамике и матрицей плотности р в кван­ товой статистике сыграла большую роль в бурном развитии статистической физики бозе- и ферми-систем. Указанная анало­ гия позволила перенести основные элементы математического аппарата, хорошо разработанного в теории поля, для описания статистического ансамбля многих частиц. В частности, в кван­

61

товой статистике многих частиц (и в задаче о термодинамике плазмы, в том числе) удалось построить чрезвычайно изящную

При квантовомеханическом исследовании систем, состоящих из очень большого числа одинаковых, произвольно взаимодейст­ вующих частиц, удобным способом описания системы является м е т о д в т о р и ч н о г о к в а н т о в а н 'и я. Смысл его заклю­ чается в том, что для описания свойств системы используется волновая функция, зависящая не от координат каждой частицы системы, а характеризуемая числами заполнения, т. е- числом частиц, находящихся в данном состоянии (N\, N2, ...), а именно волновой функцией фдг,, лг2••• (основные формулы см. в при­ ложении) .

Метод температурных функций Грина дает способ исследо­ вания, который при конечных температурах не приводит к боль­ шим трудностям, чем для систем в основном состоянии, т. е. при нулевой температуре. Отметим также, что этот метод при­ меним к исследованию как равновесных, так и неравновесных задач квантовой статистики.

Поскольку функции Грина имеют, как увидим ниже, смысл функций распространения, они содержат детальную информа­ цию о динамическом поведении системы, а так как они, с дру­ гой стороны, представляют собой средние значения по большому каноническому ансамблю, то содержат и термодинамическую

операторы в отличие от соответствующих операторов в представ­

лении Шредингера зависят от времени. Оператор ф+(г, t), дей­ ствуя слева направо на какое-либо состояние системы, добав­ ляет одну частицу к этому состоянию в пространственно-вре-

/ Ч

менной точке (г, t). Оператор уничтожения ф(г, t), сопряжен­ ный оператору рождения, действуя направо, удаляет частицу из точки (г, t). Оказывается, что все макроскопические операторы, представляющие физический интерес, могут быть выражены

через произведение операторов ф+ и ф **. Например, плотность частиц в точке (г, t)

* Одинаковых опять-таки из соображений простоты.

** Разумеется, произведение операторов есть также оператор. При этом соответствующие матрицы перемножаются по обычным законам линейной алгебры.

62

Поскольку акт удаления и последующего немедленного восста­ новления частицы в точке (г, t) служит мерой плотности частиц в этой точке, оператор полного числа частиц можно предста­ вить в виде

N (t) ■-=f dnj>+ (г, /) -ф (г, t).

Аналогично полная энергия системы частиц, имеющих мас­ су т, взаимодействие которых описывается мгновенным двух­ частичным потенциалом и(г), выражается в представлении вто­ ричного квантования следующим образом:

При этом первый член в правой части описывает одночастич­ ный оператор кинетической энергии системы, а второй — опера­ тор двухчастичного взаимодействия — представляет потенци­ альную энергию системы. Если система частиц находится во

внешнем поле, то одночастичный оператор, как будет показано

/ч /ч

ниже, приобретает другой вид (равно как и операторы -ф и ф+).

Операторы ф и подчиняются правилам антикоммутации для системы ферми-частиц (см. приложение). Эти перестановочные соотношения для операторов определяют свойства симметрии волновой функции системы. В частности, из антикоммутаци-

онных соотношений следует, что ф2(г, t)=Q. Это и есть выра­ жение принципа Паули, запрещающего нахождение в одной и той же пространственно-временной точке двух идентичных фермионов.

Поскольку нас будет интересовать поведение системы мно­ гих кулоновских частиц при конечной температуре, то для си­ стемы, находящейся в термодинамическом равновесии, сред­

нее значение любого оператора А, характеризующего систему, может быть получено усреднением по большому каноническому ансамблю:

63

ниям системы с любым возможным числом частиц. Более ком­ пактно среднее значение (7.3) может быть представлено в виде

S p [e x p { -p (tf-^ A /)} A ]

Splexp { - Р ( « - р Л 0 } ]

где символ Sp характеризует след оператора. Термодинамическое состояние системы определяется пара­

метрами р и р. Основному состоянию системы соответствует нулевая температура, т. е. р_1 = 0.

Необходимо вспомнить теперь некоторые общие положения статистической физики, чтобы понять, в каких термодинамиче­ ских переменных удобнее описывать в дальнейшем систему мно­

Тогда плотность п необходимо также выразить Е(р), и для по­

ложения формально можно считать малым параметром, отве­ чает плотности частиц в системе с выключенным взаимодейст­ вием, т. е. плотности идеального газа.

Описанные выше подходы к рассмотрению термодинамиче­ ских функций соответствуют двум альтернативным описаниям системы: каноническому ансамблю Гиббса и большому кано­ ническому ансамблю. Поэтому и статистическая сумма по со­ стояниям системы записывается по-разному в этих двух слу­ чаях. А именно:

64