Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Отметим, что для достаточно большого объема V и фиксиро­ ванного I функции bt(р, V) не зависят от V. Это происходит потому, что подынтегральная функция в выражении (6.11) со­ держит связную группу функций fij. Если, например, фиксиро­ вать Гь то подынтегральная функция обращается в нуль вне сферы с центром в точке n и радиусом, равным (по порядку ве­ личины) /-кратному радиусу действия межмолекулярных сил.

Интегрируя по г1; нетрудно видеть, что из-за наличия в вы­ ражении (6.11) фактора V~v существует конечный предел

N оо

Если предположить, что разложение (6.12) имеет конечный радиус сходимости, который в асимптотическом случае /V-voo стремится к конечному нижнему предельному значению, то

также будет иметь конечный радиус сходимости. Доказатель­ ством этого не будем заниматься, в частности, по причинам,

Тогда уравнение состояния * приобретает следующий вид:

* Точнее, одно из уравнений для термодинамической функции. Два урав­ нения (6.22) и (6.23) представляют уравнение состояния в параметрическом виде, где параметром является z0.

55

дует уравнение состояния идеального газа. Исключая из урав­

Эти формулы связывают второй и третий вириальные коэффи­ циенты с потенциалами межмолекулярных (короткодействую­

56

где Sm — набор графиков типа «звезда». Под звездой следует понимать связную диаграмму, которую нельзя расчленить на две или более несвязные части. Например, выражение для чет­ вертого вириального коэффициента описывается простыми связ­ ными графиками:

В заключение рассмотрения диаграммной техники Майера подчеркнем, что общее выражение для вириальных коэффициен­ тов можно получить лишь в случае парного взаимодействия ча­ стиц системы. Для неаддитиеных сил (следовательно, и в кван­ товой теории) уравнения Майера остаются еще справедливыми, но при соответствующем переопределении величин Бг. Однако при этом вириальное разложение можно получить, исключая

стему кулоновских частиц, заключенных в достаточно большой объем V. Для простоты по-прежнему рассмотрим однокомпо­ нентную плазму, т. е. электронный газ на равномерно распре­ деленном компенсирующем фоне положительного заряда.

Как можно видеть из выражения (6.11), вычисление группо­ вых интегралов 5; является простым для небольших I. Вычисле­

если ввести так называемые неприводимые групповые интегра­

дого из таких произведений не может быть сведен к произве­ дению интегралов. Это означает, что на соответствующей диа­

По определению,

57

где сумма берется по всем произведениям, которые более чем! односвязны. Размерность рк совпадает с размерностью VK~ Легко видеть, что первые три неприводимых интеграла имеют вид:

1

Pi = — J /i2* idr2 = 4л j г2/ (г) dr,

02 = — j /32/31/21* 2* 2* 3;

Рз — j (З/43/32/21/41 + 6/43/32/21/41/31 + /43/32/21/41/31/42) X

X dr1dr2drsdr4.

Появление коэффициентов 3 и 6 связано с тем, что имеется соответственно 3 и 6 произведений, отличающихся только нумерацией частиц. Это показано на рис. 4, на котором пред-

Рис. 4. Диаграммы, представляющие неприводимый интеграл Рз-

ставлены десять диаграмм, соответствующих десяти неприво­ димым произведениям, составляющим р3: графики 1, 2, 3 и 4, 5, 6, 7, 8, 9 являются соответственно топологически одинако­

выми.

Любой групповой интеграл bt может быть записан в виде суммы членов, каждый из которых равен произведению некото­ рого численного коэффициента, умноженного на произведение различных степеней неприводимых интегралов 0*. Например,

58

выражении группового интеграла. Оказывается, что искомые ко­

Выражение (6.32) является общим для всех значений I, а раз­ ложение групповых интегралов по неприводимымгрупповым интегралам приобретает вид:

^ = / - 2И т пчпк\ (б.зз)

пк

Может возникнуть естественный вопрос: зачем нужны непри­ водимые групповые интегралы $к, если их вид не менее сложен, чем bfi Дело в том, что несмотря на сложность выражения для рк, их вычисление существенно проще и может быть сведено к простому алгоритму. Кроме того, неприводимые интегралы и диаграммы в ряде случаев позволяют выборочно суммировать бесконечное число членов, дающих основной вклад в термоди­ намические функции системы. Как будет показано ниже, такое выборочное суммирование в случае системы кулоновских частиц приводит к конечному результату, несмотря на то что суммируе­ мые члены порознь расходятся. Столь подробное рассмотрение диаграммной техники для классической системы полезно и с другой стороны: основные понятия, вводимые здесь, понадобятся далее при введении диаграммной техники для описания термо­ динамических свойств квантовой плазмы.

Из соотношений (6.22), (6-23) и (6.33) нетрудно получить уравнение состояния, выраженное через неприводимые группо­ вые интегралы р * :

* Вывод формулы (6.34) можно проделать в качестве самостоятельного упражнения.

59