Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Здесь данное состояние системы определяется не только набо­ ром квантовых чисел к, но и числом частиц, которое является переменной величиной.

Более компактно статистические суммы ZG и ZN можно записать через след соответствующих операторов *:

жет убедиться читатель с помощью непосредственного вычис­

ления, мацубаровская матрица плотности 5(Р) удовлетворяет уравнению

что соответствует случаю бесконечно большой температуры и, следовательно, отсутствию взаимодействия между частицами. При этом

Нг (т) = ехр [ - (рЯ - Я0) г] ЯI ехр [(рЯ - Я0) т] (7.14)

/* ч

соответствует оператору Н{ в представлении взаимодействия. Отметим, что каноническое представление (7.14) отлично от

* В соответствии с общими правилами под ехр (—(ЗЯ) понимают опера­

тор, собственные функции которого совпадают с собственными функциями

/ч

гамильтониана Я, а собственные значения есть ехр (—Р£„).

обычного гейзенберговского представления операторов через

шредингеровский оператор (в данном случае H i ) тем, что вместо

/Ч

полного гамильтониана Н в «обкладки» входит лишь оператор

где операторы рождения и уничтожения частиц также записаны в представлении взаимодействия, т. е.

ф+ (х) = exp [— (\iN — Нп)т] ф* (г) exp [(p/V — Н0) т];

ф (х) = ехр [— (pJV — Н0) т] ф (г) ехр [(рЛ/ — Н0) т].

Поскольку среднее от матрицы S(p) по ансамблю невзаимодей­ ствующих частиц

определяет статистическую сумму системы взаимодействующих кулоновских частиц, то для термодинамического потенциала Й можно написать выражение вида:

стиц.

Очень существенно, что введенное представление взаимодей­ ствия позволяет вычислять средние величины по ансамблю не­ взаимодействующих частиц. Таким образом, если бы удалось

выразить величину < 5 (р )> о в виде ряда по параметру взаи­ модействия е2(точнее, по отношению амплитуды рассеяния к среднему расстоянию между частицами), то, во всяком слу­ чае, в рамках теории возмущений можно было бы решить за­ дачу о вычислении термодинамического потенциала, если, ко­ нечно, при этом не появится расходимость в отдельных членах ряда теории возмущений. Как будет показано ниже, расходи­ мость действительно имеет место в случае системы кулоновских частиц.

66

Возникает вопрос, зачем нужно строить способ описания системы по теории возмущений, если уже давно существует хорошо известная термодинамическая теория возмущений (см., например, работу [2]). Дело в том, что вычисление каждой следующей поправки к термодинамическим функциям по стан­ дартной теории возмущений связано с громадными математиче­ скими трудностями. Построение же теории возмущений мацубаровским методом чрезвычайно просто. Введение диа­ граммного метода, аналогичного методу графиков Фейнмана в квантовой электродинамике, позволяет выделить наиболее су­ щественные члены ряда теории возмущений и провести выбо­ рочное суммирование ряда диаграмм, отвечающих разным по­ рядкам по параметру взаимодействия.

Задача состоит в том, чтобы построить ряд теории возмущений

по е2 для величины < S(f})> 0. Для этого удобно ввести одноча­ стичную и двухчастичную функции Грина в представлении взаи­ модействия:

где индекс 0 означает по-прежнему усреднение по ансамблю не­ взаимодействующих частиц.

з* 67

6

Представим | H\(x)dx в виде

где б-функции выражают законы сохранения энергии и импуль­ са. Воспользуемся известным приемом введения внешнего па­ раметра /., меняющегося в пределах от нуля до единицы, так что

Продифференцируем отношение Zx/ Z ^ = <5(|3) > 0 по парамет­

Следовательно, можно установить простую связь между тер­ модинамическим потенциалом и двухчастичной функцией Грина G2:

ег

В импульсном представлении, в котором обычно удобнее рабо­ тать,

Отметим, что интегрирование по «координатам» и «импуль­ сам» записано условно, так как в технике температурных функ-

68

нейшем будет записано интегрирование по х и по р, то это озна­ чает, что в обычном смысле следует интегрировать по вектор­ ным составляющим этих величин. Что же касается четвертой компоненты импульса, то ввиду конечного интервала изменения т(0, р) по р4 проводится не интегрирование, а суммирование по

а остановимся на физическом смысле введенных формально од­ ночастичной и двухчастичной функций Грина. Одночастичная функция Грина G (1, Г) описывает распространение возмуще­ ния, при котором одна частица добавляется или удаляется из многочастичной равновесной системы. Например, когда оператор рождения, действуя первым, вызывает возмущение, до­ бавляя частицу в пространственно-временной точке (iv, т4-). Затем происходит распространение возмущения, которое про­ должается до «момента времени» п , когда частица удаляется в точке (гь t\), в результате чего возмущение снимается и систе­ ма возвращается в равновесное состояние. При Ti<Ti' первым

действует оператор ф. Распространение возмущения, которое

возмущения, вызываемые удалением или добавлением двух ча­ стиц, производимыми в различной последовательности. Напри­

то двухчастичная функция Грина описывает возмущение и воз­ вращение к равновесию в результате добавления и удаления одной частицы. Разумеется, столь непосредственный четкий фи­ зический смысл имеют так называемые временные функции Грина. Поэтому не случайно ставим слова «позже» и «рань­ ше» в кавычки, когда говорим о температурных функциях Грина, для которых мерилом «времени» является обратная температура |3 (точнее, ip).

Перейдем к графическому изображению отдельных членов ряда теории возмущений по константе взаимодействия е2. Вообще метод графиков можно представить себе просто: в виде рисунков изображают различные физические процессы, которые происходят с частицами. Распространение, например, кванта света или плазмона можно представить пунктирной линией, а распространение свободной частицы можно изо­

69