Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

бразить сплошной линией. Две невзаимодействующие частицы изображают так:

Если они взаимодействуют, например, обмениваясь плазмоном, то это соответствует рисунку:

Если обмен плазмоном двухкратный, то:

Возможно взаимодействие и такого типа:

------- ,------- У

6

--------i—

Это означает, что частица (электрон) испустила квант (плаз­ мой), который породил еще две исчезающие частицы, а плаз­ мой поглотился частицей 2. Аналогично можно рассмотреть и более сложные процессы. При этом блоки графиков между частицами / и 2 могут быть очень сложными. Оказывается, что такие графики имеют не только иллюстративный, но и коли­ чественный смысл. Например, график

р-Ч

Р

описывает амплитуду перехода электрона с импульсом р в ко­ нечное состояние с импульсом р—q и плазмоном с импульсом q. Полная амплитуда перехода и является функцией Грина. Для установления количественных -соотношений пишут графи­ ческие уравнения и ставят в соответствие простейшему гра­ фику аналитическое выражение.

Рассмотрим простой пример — установим связь амплитуды рассеяния двух частиц с потенциалом взаимодействия и. Пусть Г — блок эффективного взаимодействия. Изобразим эту вели­ чину блоком диаграмм:

70

где пунктирные л'инии символизируют потенциал взаимодейст­ вия и, а сплошные — одночастичные свободные функции Грина. Если записать символически

Отметим, что это уравнение представляет собой символическую запись известного из квантовой механики уравнения для ам­ плитуды рассеяния:

и (Pi — Р2 ) / (pj , Ра) dp[

/ (Pi, Ра) = и (pi — р2)

(еР, — V + ‘V) (2я)3

Сравнивая Г и f, можно установить строгую связь графиче­ ских и аналитических выражений.

Итак, сплошной линией будем изображать свободную одно­

частиц G2=G 0G0 изображается двумя сплошными параллельны­ ми линиями. Реальная двухчастичная функция Грина в так на­

* Это выражение для Go примем пока на веру.

71

зываемом лестничном приближении имеет вид

1_____

2 *7

Вернемся к выражению (7.26) и попробуем вычислить хотя бы первую поправку к термодинамическому потенциалу по кон­ станте взаимодействия. Как видно из этого выражения, графи­ ки, описывающие ДО, должны быть замкнутыми, что следует также из законов сохранения. Физически это можно понять еще и так: система находится в термодинамическом равновесии, т. е. должна после различных возмущений возвращаться в исходное состояние. Представим ДО в виде:

которая характеризует эффективный потенциал взаимодействия. Если этого не сделать, то ряд в фигурной скобке выражения (7.33) будет соответствовать прямому разложению подынте­ грального выражения (7.26) в ряде по е2. Действительно, графи­ ки а и г дают вклад, пропорциональный е2 (графики первого порядка). Диаграммы б являются графиками второго порядка

0-2-0 + Г с>5-0 + о-ю = ••

е е е L i L

Если последовательно вычислить вклад от графиков б, в и т. д., то можно убедиться в том, что эти вклады расходятся при ма­

72

лых q. Природа расходимости, очевидно, совершенно та же, что и в случае расходимости второго вириального коэффициента на больших расстояниях при кулоновском законе парного взаимо­ действия частиц.

Поэтому необходимо использовать жирный пунктир, т. е. эффективное взаимодействие [см. цепочку (7.34)]. Графическое уравнение для цепочки имеет вид

и представляет ряд (7.34), в чем легко убедиться методом по­ следовательных приближений. Тогда аналитическое выражение уравнения (7.35) есть

При этом петля (7.37) зависит, вообще говоря, от четвертой компоненты д4.

Отметим, что введение цепочки перестроило ряд теории воз­ мущений. Так, график б, например, с включением жирного пунк­

плазмы, то графики г и б, которые описывают квантовомехани­ ческие эффекты, следует опустить (они просто малы при/i—>-0). Тогда при q->0

т. е. эффективное взаимодействие, введенное в виде цепочки, представляет собой просто дебаевский потенциал. Жирный пунктир следует вставлять в графики k-то порядка лишь вме­ сто одного кулоновского пунктира. Это физически отражает тот факт, что кулоновское взаимодействие отнюдь нельзя подменять эффективным дебаевским потенциалом. Ранее уже отмечалось, что экранирование не приводит к замене системы кулоновских

73

частиц системой заэкранированных зарядов с короткодействием. Сейчас мы убедились в этом еще раз.

Рассмотрим вклад в Ай графика б:

Наблюдается аналогия с классическими диаграммами Майера. Продолжая вычисление АЙ, получаем

1

1

ДЙ = 2 (2я)3 р f Т " f ^ КП°Ыч)2+ (П0ич)3+ (П0ид)' +

Получена, таким образом, уже знакомая дебаевская поправка к термодинамическому потенциалу однокомпонентной плазмы. От­ метим, что ДЙ выражено через |, а не через реальную плотность частиц п. С этим связан и коэффициент ’/з вместо 2/3 в прежних выражениях, а также и противоположный знак дебаевской по­ правки.

Легко можно убедиться в том, что учет графика в приводит в ДЙ к следующей за дебаевской логарифмической поправке, причем под логарифмом стоит малая величина е2Рх— отношение кулоновской амплитуды рассеяния f к дебаевской длине lD=%~1.

74