Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

независимых атомов конечного размера. Разместим их в гр.уппы по Ni к одинаковых атомов, что можно сделать g способами:

Пусть Ni *— число атомов, обладающих кинетической энер­ гией Е к и энергией внутреннего движения WK. При этом второй индекс характеризует набор квантовых чисел, относящихся к внутренним степеням свободы атомов. Возьмем ЛГц атомов и вы­ делим из них один атом. Тогда число состояний, которое может

поэтому количество возможных состоянии, которое может за­ нять группа атомов Nи, равно

При этом неявно предполагается, что V/un — целое число, что достаточно точно, поскольку V/ttn^l. Если это тем не менее не нравится читателю, то всегда можно записать факториал в виде Г-функции:

бодным объем V—Л'пИц, а число ячеек, доступных ему в фазо­ вом пространстве, равно ( V■—Nnun)y2 - Для второго атома из

80

Далее аналогично рассмотрим группы атомов, относящихся к уровням Е3, Д4, ... Число возможных размещений N\ атомов (т. е. атомов, отвечающих уровню W\) вследствие независимо­ сти атомов в рассматриваемой системе можно записать в виде произведения:

(8. 12)

Теперь перейдем к рассмотрению группы атомов N2, относя­ щихся к уровню W2. Для первого из них соответствующий объем равен (V—N\U\2), где «12 — объем защитной сферы при столк­ новении атомов группы N\ с атомами группы Л/2. Соответствую­ щий объем для второй частицы, очевидно, равен (V—N\U\ 2 —«22)-

Можно теперь повторить все рассуждения, относящиеся к выводу выражения для р\. Тогда

Дальнейший подсчет для других уровней Wi не может вызвать затруднений. Общее число возможных состояний есть произве­ дение

которое следует еще домножить на величину N\/ll(NiK)\ и раз-

1К

делить на N\, поскольку атомы тождественны, а два атома не могут находиться в одной ячейке. Тогда

81

Следовательно,

\“kk

i

Таким образом получено полное число возможностей, соответ­ ствующих распределению заданного числа частиц N по груп­

пам NiK.

Нетрудно видеть, что если положить uiK = 0, то

5^3*0=ПК*П(NtKV (8.17)

что соответствует записи ZN в виде (8.2).

Учет конечного радиуса взаимодействия при выводе выра­

Вычислим теперь А = ]п$°. Тогда для Ак имеем:

=(In 1/ , — l) + ( j V , - ^ - ) l „ ( l - - ^ 5 - ) .

разлагая в ряд In VK, получим приближенное выражение l

Тогда

Первый член в этом выражении нас не интересует, так как он характеризует статистическую сумму, связанную с 3й 0, т. е. соответствует случаю нулевого радиуса взаимодействия. Таким образом, экспоненциальный множитель для числа возможных состояний изменился благрдаря введению конечного размера атома на величину

Эта запись требует некоторого пояснения. Если N)^>NK («одноквантовость состояния» системы), то дополнительный к обыч­ ному распределению Гиббса экспоненциальный множитель в выражении (8.23) приближенно можно записать в виде

Отметим, что статистическая сумма (8.25) представляет со­ бой сходящееся конечное выражение. Так, если суммировать начиная с некоторого достаточно большого п= Пь то

У 1 п2 exp (— an2) - j1п2 ехр (— ап2) dn =• - у Г (1/2) (1/а)’/г.

В табл. 1 видно, насколько существенным является ограничение статистической суммы, обусловленное конечным радиусом взаи­ модействия.

8.3

Т а б л и ц а 1

Зависимость фактора G от п

Конечно, приведенное рассмотрение не может претендовать на точное вычисление статистической суммы, поскольку из фи­ зических соображений ясно, что ограничение статистической сум­ мы должно быть связано не только с геометрией, но и, напри­ мер, с температурой системы. Однако такое рассмотрение четко показывает, что даже геометрический фактор (имеющий тот же смысл, что и в уравнении Ван-дер-Ваальса) говорит о несовер­ шенстве записи статистической суммы в виде (8.2) или (8.5). Как это видно из табл. 1, основное состояние атома практиче­ ски не меняется с введением конечного радиуса взаимодейст­ вия. Мало сказывается это и на нескольких первых членах ста­ тистической суммы. Однако для достаточно высоких возбужден­ ных состояний действие фактора G настолько сильное, что вклад этих состояний практически равен нулю. Возможность выделения статистической суммы ZN по внутренним степеням свободы (уровням атома) в идеальной системе связана с тем, что по поступательным степеням свободы можно выполнить простое интегрирование. Статистическая сумма системы, состоя­ щей из N атомов,

Если система идеальна, то удобно в качестве отсчета энергии

Z/v = 2 £пехр(— 8пр).

П

Вычисление статистических весов gn можно упростить, если пользоваться схемой Рассела — Саундерса, согласно которой уровни, отличающиеся только ориентацией спина и орбиталь-

84