ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 0
ного момента, объединяются в один мультиплет. Тогда под еп следует понимать среднюю энергию мультиплета, а статистиче ский вес
ёп = (2L + 1) (25 + 1), |
(8.29) |
где 5 и L — полный спин и орбитальный |
момент электронных |
состояний атома. Спин-орбитальное взаимодействие описывается схемой Рассела — Саундерса с хорошей точностью лишь для легких атомов, когда тонкая структура несущественна (расщеп ление мало по сравнению с расстояниями между уровнями). В тяжелых атомах, как это хорошо известно из квантовой меха ники [5], необходимо учитывать j—/-связь. Однако, если не до биваться большой точности в численных расчетах, можно прак
тически всегда пользоваться выражением |
(8.29). Значения L и S |
|||||
для основного состояния атома |
можно |
рассчитать |
с помощью |
|||
известного |
правила Гунда, |
если |
известна |
электронная конфи |
||
гурация: |
наименьшей энергией |
обладает |
терм с наибольшим |
|||
возможным при данной электронной конфигурации значением S |
||||||
и наибольшим (возможным |
при этом 5) |
значением |
L. Напом |
|||
ним, что полный момент j |
выражается через спин |
и орбиталь |
||||
ный момент следующим образом: |
|
|
|
|
||
L—S, |
если электронная оболочка заполнена меньше чем |
|||||
I |
наполовину, |
|
|
|
|
|
L-\-S, |
если заполнение оболочки превышает половину. |
|||||
В качестве примера подсчитаем gn для основного состояния атома азота 7N, обладающего электронной конфигурацией ls22s22p3. Исследовать нужно лишь незаполненную оболочку атома, содержащую три р-электрона. Поскольку в данном слу чае 5 макс = 3/2, а возможные проекции орбитальных моментов р-электронов равны 0, —1, 1, то £ макс= 0, и основное состояние атома можно записать в виде 453/2. Тогда
ft = (2S + 1) (2L -]- 1) = 4.
Статистические веса возбужденных состояний атомов невозмож но подсчитать столь просто. Значения gn для п> 1 приведены в соответствующих справочниках.
Расходимость статистической суммы по связанным состоя ниям есть проявление кулоновского взаимодействия ядро — электрон в атоме. Может быть, можно представить себе следую щую картину, если рассматривать частично ионизованную де баевскую плазму: электрон, находящийся на достаточно далекой орбите, испытывает экранирующее действие со стороны заря женной компоненты плазмы. Не означает ли это, что на него действует дебаевский потенциал ф? Если это так, то поскольку дебаевский потенциал описывает короткодействующие силы, число уровней в статистической сумме ZN должно быть конеч
ным и вопроса о расходимости не возникает. Число уровней в
85
дебаевском потенциале нетрудно оценить. Действительно, если рассматривать достаточно большие квантовые числа п, то дви жение электрона на далеких орбитах можно считать квазиклассическим. Пусть электрон движется в центральносимметричном поле и (г). Тогда число состояний электрона, приходящееся на объем фазового пространства [г, r + dr, 0<р(г) ^ р 0(г)], где Ро(г)— импульс в точке поворота:
dN — |
р3 .4пгЧг/(2лК)3. |
(8.30) |
При фиксированном г частица, движущаяся квазиклассиче |
||
ски, может обладать импульсами, удовлетворяющими |
условию |
|
|
|
|
£ |
- |
{ |
1 |
г |
- |
| |
“ |
( г , |
| ) |
< 0 |
что определяет |
финитное |
движение |
частицы |
с |
отрицательной |
||||||||
полной |
энергией |
Е. |
Подставляя |
|
граничное |
значение |
р0= |
||||||
= I' 2т\и(г) \ в выражение (8.30) |
и интегрируя по всем г, |
по |
|||||||||||
лучим полное число состояний |
дискретного спектра: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
ОО |
|
|
|
|
= |
16л» |
1‘ |
з (r) r 4 r |
= 2 V 2 _ |
|
т_^_ Г 2 | |
и |
р/, dr |
(8 _3 1 ) |
||||
|
3 (2яй)з |
J |
|
|
|
Зя |
|
II» |
Jо |
|
W l |
v |
|
Если и (г) — дебаевский |
потенциал: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
и (г) = |
— е2 ехр (— иг)/г, |
|
|
(8.32) |
||||||
то из выражений (8.32) и (8.31) следует: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
N = |
(32/9 У л ) (а0к)-3/г |
2 (1о/а0)3/г . |
(8.33) |
|||||||||
Пусть %7’ = р -‘^ 1 |
эв, |
я —■1018 см-3, |
тогда /в~5-10~7 см, |
а число |
|||||||||
дискретных уровней водородоподобного атома в такой дебаев ской плазме должно составить тысячи. Эта величина неправдо подобна и противоречит эксперименту. На самом деле число членов статистической суммы по дискретным состояниям в та кой плазме оказывается существенно меньшим. Следовательно, существует механизм, приводящий к более радикальному огра ничению статистической суммы атома в плазме.
Наиболее простая мысль, которая при этом возникает, за ключается в том, что атом не может занимать большего объема, чем это ему позволено межчастичным расстоянием. Если рас смотреть ту же дебаевскую плазму, что и в предыдущем при мере, т. е. плотность заряженных частиц в плазме порядка 1018 см-3, то легко видеть, что максимальное квантовое число, на котором следует ограничить суммирование,
Пмакс* {rja0)4‘ =• 14. |
(8.34) |
Это уже разумное значение, не противоречащее эксперименту.
86
Отметим, кстати, что такой простой подход, который, конеч но, не дает точного значения пма1;с, оправдан в связи с тем, что статистическая сумма слабо чувствительна к точному значению Пмакс, так как каждый член экспоненциально мал в случае 1/р<С/ и взять 12 или 14 членов не столь уже важно. Важно лишь, чтобы это было разумное число, а число членов суммы было бы не слишком большим. В разное время и разными ав торами предлагались различные модификации описанного выше способа ограничения статистической суммы. Все они по сути дела похожи на результат (8.34), и авторы спорили лишь о чис ленном коэффициенте. Например, Унзольд предложил выра жение
2 |
= |
Z ' U |
i i |
Пмакс ~~ |
6 |
а0 ' |
|
Однако такой подход не является принципиально правильным: можно сильно ошибиться, если температура плазмы достаточно велика и больцмановская заселенность возбужденных уровней не мала. Физически очевидно, что пмаКс обязано зависеть от со стояния возмущающей атом среды, а следовательно, от плотно сти заряженных частиц и температуры плазмы.
Разумный подход к ограничению статистической суммы ато мов был предложен Инглисом и Теллером в 1939 г. [2]. Если рассматривать водородоподобный атом в поле иона, то вследст вие взаимодействия собственного дипольного момента атома с квазистатическим зарядом происходит штарковское расщепле ние уровней, которое по порядку величины равно
ДЕ (dE) ~ |
еа0пге/г20 — Ае2а0п2пг/*, |
(8.35) |
где п-—главное квантовое |
число; п — плотность ионов. |
Ввиду |
того что возмущающий ион движется, происходит уширение штарковских компонент, что эффективно приводит к конечной ширине уровня п, обусловленной действием виутриплазменного микрополя. Разумеется, столь простая запись выражения для штарковской ширины справедлива лишь для достаточно разре женной плазмы, когда г ^ а о и действие возмущающего иона можно рассматривать как действие однородного поля. Кроме того, выражение (8.35) справедливо лишь для водорода и водо родоподобных атомов, т. е. для атомов, обладающих собствен
ным дипольным моментом. |
|
между уровнями |
|
|
Если ДЕ сравнимо с расстоянием |
|
|||
е*_I J ___1 |
|
^ _2_ ег |
(8.36) |
|
во I п2 |
(п + 1)2 |
пз а0 |
||
|
||||
то можно считать с известными оговорками, что дискретный спектр переходит при соответствующем п в непрерывный. Во всяком случае, в спектроскопии плазмы этот эффект прояв ляется достаточно четко: начиная с некоторого значения пмакс
87
линейчатый спектр исчезает и переходит в континуум. Прирав нивая выражения (8.35) и (8.36), получаем
П _ п 2^1Ь
‘‘макс '»
Более аккуратный расчет, выполненный Инглисом и Теллером, позволяет написать формулу [4]:
|
Пмакс= 1,04 - 103-тг-а/*5. |
(8.37) |
Экспериментаторы до сих пор часто пользуются этой |
формулой |
|
для оценки |
плотности зарядов п в плазме. Однако утверждение, |
|
что именно |
это пма1;с определяет наивысшее возбужденное со |
|
стояние атома, до которого следует распространить суммирова ние в статистической сумме,. является, конечно, лишь правдопо добным предположением.
Одним из возможных подходов к определению пмакс является следующее рассуждение. Будем считать, что возбужденные уровни с данным главным квантовым числом п полноправно входят в статистическую сумму атома ZN до тех пор, пока дан ный уровень п не исчезает вследствие ионизации под действием возмущающего внутриплазменного поля. Пусть электрическое микрополе, обусловленное действием многих кулоновских ча стиц, образует векторную сумму:
Е = У F; (г,) = |
е V г;гг3 (1 -г кг.) exp (— nrt), |
(8.38) |
£ |
i |
|
где х= (г®/Зр)-1/2— обратная дебаевская длина. При этом счи
таем, что возмущающее поле создается системой заэкранирован ных по Дебаю зарядов (ионов). Для поля Е можно написать функцию распределения, определяющую вероятность воздейст вия на атом данной величины < Е > в зависимости от плотности заряженной компоненты и температуры плазмы. Вопрос о рас пределении микрополей в плазме кратко обсудим в следующей главе. Пока примем на веру, что в дебаевской плазме не слиш ком низкой плотности п вероятность найти возмущающую ча стицу (ион) на расстоянии г с хорошей точностью описывается выражением [3]
dP (г) = 4лп ехр | — и (г) р — 4лп ( (г')гехр [— и (г') Р] dr'j r2dr, |
(8.39) |
где и(г) — потенциальная энергия взаимодействия иона |
с ато |
мом.
При расчете эффекта Штарка в сильном электрическом поле определяется напряженность критического поля Еа, при которой наступает ионизация атома, находящегося в состоянии п. В ре зультате расчета порога ионизации получается следующая фор мула [2]:
Е0 Ze,/(16n4aj;) .
88
Сопоставление с квантовомеханическим расчетом и с экспери ментом показывает, что с достаточной степенью точности можно написать значение Е0, вдвое отличающееся от классического:
E0^Zel(8n‘ a*). |
(8.40) |
С учетом экранирования возмущающего иона поле, действую щее на атом *:
Е (г) — er~2 (1 -fxr)exp(— хг), |
(8.41) |
где г — расстояние между ядром атома и возмущающим ионом. Приравнивая, выражения (8.40) и (8.41), получаем квантовое число для ограничения статистической суммы:
пмакс = 2~3/‘ (r/a0)'u (1 — хгГ 7*ехр (хг/4). |
(8.42) |
Для оценки пма,;с можно подставить вместо г в формуле (8.42) среднее расстояние между ионами г0.
Статистическая сумма атома зависит от г, и необходимо про водить соответствующее усреднение выражения
|
Z(r) = 2 |
V е gn exp [— en (r) PJ, |
(8.43) |
|
|
|
n = I |
|
|
где en — энергия |
атомных |
уровней во |
внешнем |
электрическом |
поле. |
параграфа приведем |
простой |
способ оценки |
|
В заключение |
||||
статистической суммы атома ZN. Выражение (8.5) удобно раз бить на несколько частей. Если 1/(5<С/ (плазма является низко температурной), то достаточно учесть несколько первых членов суммы, например до «точки перевала» [см. рассуждения после
формулы (8.5)], |
а остальную часть суммы |
учесть квазикласси |
чески, заменив |
сумму интегралом. Когда |
1/р —/, т. е. возбуж |
денные состояния заметно заселены, большой вклад в статисти ческую сумму дают состояния Еп ^1. Тогда
Zn — 2 + exp (— р/) V gn ~ 2 + (пмакс— 1) ехр (— р/), (8.44)
П
Если нужна несколько более аккуратная оценка, то можно написать следующее приближенное равенство:
Z h ~ 2 + 2 £ eexp(-eeP) + (tfa- |
£ *Л ехр (-Р /), |
|
а=2 |
\ |
а=2 / |
где значение N2 очевидно.
* Рассмотрим для определенности водород (Z—1).
89