Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

§ 9. ИОНИЗАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ДЕБАЕВСКОЙ ПЛАЗМЫ

Изучение уравнения состояния тесно связано с исследова­ нием состава плазмы. Если плазма термодинамически равно­ весна, то вычисление концентраций отдельных компонент пред­ ставляет собой наиболее простую задачу, поскольку для этого не нужно подробно знать микроскопические свойства плазмы, не нужно знать элементарные процессы столкновений частиц и т. д., не нужна и предыстория установления равновесия. Состав плазмы совершенно так же, как и для всякой термодинамиче­ ски равновесной системы, определяется заданием характерных макроскопических величин, определяющих состояние равнове­ сия. Поэтому состав плазмы фиксирован состоянием системы и определяется законом действующих масс, или условием хими­ ческого равновесия, совершенно так же, как и в теории термо­ динамически равновесных химических реакций.

Не будем обсуждать здесь диссоциацию молекул, а предпо­ ложим, что температура и давление в системе таковы, что число молекул ничтожно мало и плазма представляет собой трехкомйонентную систему, состоящую из атомов, ионов и электронов. Более того, для простоты рассмотрим конкретный случай ча­ стично ионизованной водородной плазмы. Тогда закон действую­

где ре, Цт и Ца — химические потенциалы подсистем электронов, ионов и атомов соответственно. Уравнение (9.1) записано для случая однократной ионизации (для водорода, конечно, и воз­ можна лишь однократная ионизация). Если плазма полностью идеальна, то, записывая явные выражения для химических по­ тенциалов отдельных компонент [4]:

где п j и Zj — соответственно плотность и статистическая сумма по внутренним степеням свободы атома, иона и электрона; под­ ставляя выражение (9.2) в уравнение (9.1) и потенцируя полу­ ченное равенство, получаем

90

Здесь т — масса электрона; ge = 2 — статистический вес элек­ трона и иона, обусловленный двумя возможными ориентациями

[7]. Эта формула, полученная индийским физиком Саха, хотя и описывает ионизационное равновесие в термодинамически иде­ альной плазме, весьма полезна для предварительных прикидок и в случае неидеалыюй дебаевской плазмы. Если 1/р<С/, то 1 /Za можно заменить экспонентой ехр(—р/) (см. § 8). Для еще бо­ лее грубых оценок степени ионизации можно пользоваться упро­ щенной формулой Саха:

n2Jna^ . ( 1/ft3) exp (— р/),

где ft— дебройлевская длина волны электрона.

Перейдем теперь к изучению ионизационного равновесия и уравнения состояния частично ионизованной дебаевской плаз­ мы. При этом будем исходить при описании статистической суммы атома Za из модели, рассмотренной в § 8 [см. выражение (8.43)], когда величина пмакс, зависящая от г, определяется функ­

приближение. С одной стороны, предположение о том, что пол­ ная энергия атома £ = еМапс= 0 приводит как бы к эффективно­ му уменьшению потенциала ионизации. С другой стороны, это означает, что атомный электрон с е > (еп)макс является «свобод­ ным» в том смысле, что он равноправен с несвязанными элек­ тронами плазмы, движущимися в дебаевском потенциале. Такое рассмотрение, строго говоря, не является корректным. Однако вследствие слабой чувствительности статистической суммы к Пмакс (о чем говорилось выше) результат вычисления слабо кри­ тичен к этому предположению.

Введем еще одно не совсем корректное предположение: пусть

где dP(r) определяется формулой (8.39). Распределение dP(r) иногда называют р а с п р е д е л е н и е м « б л и ж а й ш е г о со­ седа », поскольку при выводе формулы (8.39) предполагается,

91

что основным возмущающим атом агентом является единствен­ ный квазистатистический ион. Функция (8.39) учитывает корре­

иона водорода; экранированием возмущающего иона при этом

описывает, конечно, и распределение для возмущающего элек­ трического поля £, поскольку

Р (г) dr = Р (Е) dE.

Нетрудно показать, что более правильным является усредне­ ние статистической суммы атома не в виде (9.5). Правильнее писать:

Это следует из простого рассуждения. Запишем свободную энер­

Тогда, поскольку Na и пмакс зависят от г, то каждому числу Nа нужно приписать вес Р(г) или Р(Е). Следовательно,

откуда и следует формула (9.6). Однако, как показывает чис­ ленный анализ, усреднение по формуле (9.5) не вносит большой

ошибки.

Итак, для получения уравнения ионизационного равновесия по-прежнему необходимо пользоваться законом действующих масс в виде (9.1). Считая, что поправка к химическим потенциа­ лам для ионной и электронной подсистем мала вследствие ма­ лости параметра гц.-л, можно предположить, что свободная энер­ гия системы F складывается из двух частей:

92

Тогда, дифференцируя F по соответствующему числу частиц Nj при неизменных объеме и температуре, получим соответствую­ щие выражения для химических потенциалов отдельных компо­ нент. Так, для ионной и электронной компонент плазмы

где n = n.i + ne, а (рг)ид и (щ.)цд описываются выражениями (9.2). Отметим, что статистическая сумма атома теперь уже не яв­ ляется функцией лишь температуры, как это имело место в слу­ чае идеального газа, а зависит от плотности заряженных частиц в плазме из-за взаимодействия ион — атом. В свою очередь, плотность ионов зависит от Za, т. е. задача является самосогла­ сованной. Поэтому при вычислении ц„ необходимо учитывать зависимость Z(p, пе) и аккуратно вычислять соответствующую производную от свободной энергии Fa. Дальнейшая процедура вывода аналогична рассмотренному выше выводу формулы Саха. В результате получается следующее уравнение ионизационного

равновесия:

приближении по малому параметру f/r0 неидеальность заряжен­ ной компоненты плазмы. Показатель экспоненты в формуле (9.12) можно рассматривать как эффективное снижение потен­ циала ионизации атома. Кроме того, формула (9.12), в отличие от формулы Саха, учитывает взаимодействие ион — атом. Пока­ затель экспоненты мал, и можно упростить формулу (9.12), разложив экспоненту в ряд *.

Выше говорилось о том, что для определения степени иони­ зации недостаточно одного уравнения ионизационного равнове­ сия. Необходимо еще уравнение состояния плазмы, которое лег­

где Х = —д In Za/d In пР, 0<>,<1. Первый член в правой части со­ ответствует идеальному газу, второй член — знакомая нам де­ баевская поправка к давлению, а третий член учитывает конеч­ ное число возбужденных связанных состояний. Таким образом, система уравнений (9.12) —(9.13) позволяет при заданных дав­

* Уравнение ионизационного равновесия, обусловленного термической ионизацией плазмы, изменится, если плазма находится в магнитном поле (см. Приложение VI).

93