ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 0
Выражение (13.41) представляет собой параметрическую запись термодинамического потенциала системы, где в качест ве параметров выступают парциальные плотности отдельных компонент плазмы если считать плазму идеальным газом. Переход от ^ к реальной плотности п легко продемонстриро вать на примере однокомпонентной системы. Пусть имеется система параметрически записанных уравнений, которые пред ставляют уравнение состояния достаточно разреженной систе мы, так что неидеальность описывается вторым вириальным коэффициентом. Тогда
где У — объем системы; В — второй |
вириальный коэффициент. |
||
Из второго уравнения получаем |
|
|
|
1 = |
— 1 + уП + АпВ |
^ п — п?В. |
|
2В |
|||
Следовательно, с той же точностью |
давление системы равно |
||
|
P ^ p - i |
|
(13.42) |
Формула (13.41) не учитывает вклада возбужденных свя занных состояний в термодинамический потенциал. Кроме то го, при вычислении П опущены члены, пропорциональные | 2, которые можно вычислить в приведенной выше постановке задачи, учитывающей парное взаимодействие частиц. Очевид но, что в случае кулоновской системы вириальное разложение с учетом второго вириального коэффициента имеет вид
Q = Q0 + А1Ч*+ B1?lnl + О?-
Коэффициент С определим в следующей главе с помощью ме тодов, отличных от приведенного здесь.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М., «Наука», 1963.
2.Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя элек тронами. Пер. с англ. М., Гостехиздат, 1960.
3. |
Кудрин |
Л. |
П., |
Тарасов Ю. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», |
1962, т. 43, |
4 |
с. 1504. |
Е. С. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1959, т. 36, с. 951; |
Nucl. Phys., |
||
Фрадкин |
|||||
|
1959. v. |
12, |
р. |
465. |
|
5.Matsubara Т. Progr. Theor. Phys., 1955, v. 14, p. 351.
6.Salpeter E. Phys. Rev., 1952, v. 87, p. 328.
Г л а в а с е д ь м а я
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ФУНКЦИИ СЛАБО
НЕИДЕАЛЬНОИ ПЛАЗМЫ
§ 14. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ
Перейдем к корректному учету возбужденных состояний атомов в термодинамических функциях низкотемпературной плазмы. Напомним, что если пренебречь взаимодействием ча стиц в плазме, то термодинамический потенциал системы Q выражается через параметры идеального газа совсем просто:
|
= |
i |
|
|
(14Л) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е' = ( ^ |
) ' ' ,вхр|р(1‘' + , л |
|
(,4-2) |
||
а суммирование проводится по всем сортам частиц; |
р,- — хи |
||||
мические потенциалы отдельных компонент плазмы; |
/, — энер |
||||
гия полной ионизации i-ro |
иона (или атома). |
действующих |
|||
Условия химического |
равновесия |
(закон |
|||
масс) и квазинейтральности плазмы |
приводят |
к следующим |
|||
соотношениям между химическими потенциалами: |
|
|
|||
4z + Ре = Pz-I > 2 Z/ |
= о, |
|
(14.3) |
||
|
|
I |
|
|
|
где Zt — заряд иона i-го сорта. При Z= 1 учитываются и ней тральные атомы.
Формула (14.1) представляет собой первый член разложе ния термодинамического потенциала системы по степеням |. В следующем приближении необходимо к выражению (14.1) добавить дебаевский член x3D/ 12я, где
х2, = 4лРсг 2 ^ . |
(14.4) |
I |
|
Кроме того, последний множитель в формуле (14.2) нужно
заменить на сумму 2 ехр(р/т ) по всем возбужденным связан-
т
ным состояниям i-го иона. Такая операция не корректна из-за расходимости этой статистической суммы, если не ограничи вать число членов суммы. В четвертой главе показано, что если ограничиться суммированием лишь по таким состояниям,
155
в которых размеры иона (или атома) меньше среднего рас стояния между частицами, то вклад в термодинамический по тенциал от возбужденных связанных состояний пропорциона лен | 3/2 и по порядку величины равен вкладу дебаевского члена.
Однако можно показать, что правильный учет взаимодейст вия иона, имеющего заряд Zj, с электронами непрерывного спектра приводит к выражению, компенсирующему расходи мость статистической суммы по связанным состояниям иона с зарядом Z;—1 [7]. Поэтому после выделения дебаевского чле на остаются выражения, пропорциональные £21п§, I2 и более высоким степеням £.
Рассмотрим взаимодействие иона с зарядом Zj и электро на. В работе [2] показано, что правильное значение члена по
рядка |
| 2 получается вычитанием |
из |
квантовомеханического |
||||||
выражения для Й [см. формулу |
(5.69)] |
расходящихся выра |
|||||||
жений |
е2£;|ер J" dV/r, |
обеспечивающего |
выполнение |
условия |
|||||
квазинейтральности плазмы, |
и члена |
(1/2)£f£e(pZfe2/r)fl!V, уже |
|||||||
учтенного при вычислении дебаевской |
поправки |
к й. |
Остаю |
||||||
щееся выражение |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
м , |
{(2- = а - ) " ' |
« р 'h i ее.)-- |
) [ |
' + |
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.5) |
расходится |
логарифмически, |
и для |
устранения |
этой |
расходи |
||||
мости необходимо на больших расстояниях от иона его куло новский потенциал заменить на дебаевский (Zje/r)exp (—xDr),
что и было сделано в § 13.
Сумма в первом члене выражения (14.5) берется по всем состояниям как непрерывного, так и дискретного спектра. Вклад от самого большого слагаемого в этой сумме, соответ
ствующего основному состоянию иона (или атома) |
с зарядом |
|||||
(Zi—1) |
равен |
ш-1 |
и уже учтен в формуле (14.1). |
Поэтому |
||
будем |
считать, |
что |
суммирование |
осуществляется |
только |
по |
возбужденным |
состояниям. Если |
ион не является |
ядром, |
то |
||
для энергий первых (низших) уровней нужно брать экспери ментальные или приближенно вычисленные значения, но при высоких энергиях возбуждения энергетический спектр является Еодородоподобным, т. е. уровни п2 кратно вырождены, а их энергия
где п — главное квантовое число.
Пусть |
выполнено условие |
квазиклассичности |
плазмы |
||
|
|
/ |
7 />2 |
\ 2 |
(14.6) |
|
|
|
|
>>L |
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем |
такой |
номер состояния |
п0, для которого $Еп0 <С1. |
||
Тогда сумму по |
связанным |
состояниям с п > п 0 |
и по состоя |
||
ниям непрерывного спектра можно заменить интегралом, вос пользовавшись для плотности уровней квазиклассическим вы ражением dn = dpdr/ (2я)3. При больших по оставшаяся сумма пропорциональна п$, но интегральный член содержит компен
сирующее слагаемое. При вычислении удобно дважды про дифференцировать по р выражение, стоящее в фигурных скобках формулы (14.5), после чего можно положить п0=оо и вычислить отдельно сумму и интеграл. В результате получим
- ?>Qie= Ые{ ( ^ Г ) >/2 2 [6ХР(P £J ~~ 1“ |
+ |
m |
|
+ Т - ( Р г Л ’ ( | " з й ^ - 2С + т ) ' |
<14-7> |
где С= 0,5772 — постоянная Эйлера, а сумма берется по всем связанным состояниям и представляет собой сходящееся вы ражение. Отметим, что этот прием, использованный А. И. Ларкиным [2], аналогичен приему Планка, рассмотренному в чет вертой главе.
Вклад в термодинамический потенциал от взаимодействия одноименных зарядов вычисляется по классической формуле для второго вириального коэффициента:
-Р П « .н = (1/2) (&.<)* J [ехр(— ри) — \]dV. |
(14.8) |
Так как ионы отталкиваются, расходимости на малых расстоя ниях не возникает, а расходимость на больших расстояниях устраняется описанным выше способом. При вычислении инте грала в формуле (14.8), так же как и при вычислении инте грального члена в формуле (14.7), существенны расстояния порядка амплитуды рассеяния /= pZ fZ,-e2. На этих расстояниях взаимодействие даже между сложными ионами можно считать кулоновским. В результате получим
- (IQ„ = - |
Z,Z,,V (in |
- 2С + - f ) , (14.9) |
если рассматривать взаимодействие ионов разных сортов (/, /). Член, описывающий взаимодействие одноименных зарядов, естественно, содержит еще множитель 1/2. При вычислении дебаевского члена нужно учесть, что экранировка осуществ ляется не свободными заряженными частицами, а частицами, находящимися в поле других частиц. Для корректного вычис ления этой поправки можно воспользоваться диаграммной тех никой, изложенной в § 13. Для этого при учете вклада от
157
кольцевых диаграмм нужно записать не свободные гриновские функции G0, а эффективные одночастичные функции Грина, учитывающие наличие поля, т. е. учесть собственно энергети ческую часть вида
\
ч
1
/
/
где жирным пунктиром обозначается дебаевская цепочка из петель за вычетом кулоновского потенциала (светлый пунк тир). Вычисление читатель может сделать в качестве упраж нения; укажем, что при этом получается следующий вклад в термодинамический потенциал системы:
- f ^ i'L Z te % ) ® z U 4 i ) .
2.i i
Окончательное выражение для термодинамического потен циала частично ионизованной дебаевской плазмы с учетом чле нов порядка £2 имеет вид
- M G = 2 |
I |
£' + T 5 T + ( ^ Г |
2 |
i |
1Ь 2 |
- |
|
|
|
ш |
|
- 1- Р£„1 - f <М» 2 |
<W 1,5;(ш - |
^ г |
Ж + Л.) + |
|
ч |
|
|
|
|
+ ^ - (№ )s( y z n i) & |
z 2ih). |
(14.10) |
||
Z |
i |
i |
|
|
Если дебаевская плазма содержит одноэлектронные ионы ти па Нец, то сдвиг основного состояния таких ионов, как это бы ло показано в § 13, приводит к поправке к AQ, описываемой
последним членом |
в правой |
части выражения |
(13.41): |
|
||
Z.! = pAQ = — |
5 /Z — 1 |
V |
. |
(14.11) |
||
|
) аоко Ь - \ |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
х* = |
4 |
[| е+ |
22^ + |
(Z - I)2 &_i]. |
|
|
По отношению к | е этот член порядка | 5/2 по плотности (так как lz -\~ lelz\ kd~ 1 1/2)-
158