Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

типа (12.1). Формулу (13.25) дополняют условия равновесия и квазинейтральности плазмы:

+ ^ < 7 ^ = 0. <13-26>

где pi — заряд частиц i-й компоненты.

Рассмотрим случай, когда в плазме присутствуют электроны е, ионы i с зарядом Z и (Z—1) раз ионизованные атомы. По­ следние представляют собой одноэлектронную связанную си­ стему, и в дальнейшем будем условно называть их просто ато­ мами а. При этом в плазме имеются следующие виды взаимо­ действий: ее, ii, ie, аа, еа, ia. Взаимодействие с потенциалом отталкивания учитывается квазиклассически совершенно так же, как это делалось при выводе формулы (13.25). В результа­ те получим, например, для взаимодействия И:

*a = W l h + Z % + ( Z - l Ш 'Ч

При наличии потенциала притяжения необходимо выделить вклад от первых дискретных уровней, считая остальную часть квази­ классически. Переходя в формуле

= - w Zexp 10 ^ +1*'» (-wP х

x .ff j* dpdp'u (р — р') exp (— 0££е) (р') ф£е (р) (13.28)

о

149

к квазиклассическому пределу, начиная с уровня £n„>i легко получить сходящееся выражение

Разложение по а с указанной выше точностью приводит к сле­ дующему выражению, не зависящему от По:

Аналогично вычисляется вклад от квазиклассической части взаимодействия еа. Вклад от основного состояния атома Е0, ко­ торое в первом приближении можно считать кулоновским, уже учтен в й 0- Вклад в уравнение состояния от сдвига основного уровня можно получить, пользуясь построенной нами четырех­ мерной теорией возмущений [3]. При этом рассмотренное выше адиабатическое приближение уже не является правильным, а взаимодействие не является потенциальным, поскольку и зави­ сит ОТ <74-

Построение термодинамической теории возмущений

Нетрудно видеть, что Ай можно выразить через функцию Г, определенную формулой (13.14). Эту функцию иногда называют

150

Пусть полное взаимодействие описывается функцией U(p), ко­ торую запишем в виде суммы двух членов: потенциального ку­

+

яс

Рис. 13. Диаграммы лестничного типа.

щения, зависящего, вообще говоря, от четырех компонент им­ пульсов, т. е.

Эффективное взаимодействие Г также представим в виде

причем Г0 изображается «лестницей» с кулоновским потенциа­ лом и (рис. 13). Подставляя функцию (13.34) в уравнение (13.32) и пренебрегая членами второго порядка малости, полу­ чаем уравнение для Ti

Г1 (Р. Р', g) = (- ^ - р J и (Р— Р>) Ф (Ри g) Гх (ръ р \ g) dPl +

В первом приближении учтем второй член в правой части этого уравнения, т. е.

'р я*

Легко видеть, что Г{0) не зависит от р\. Решая уравнение

(13.25) методом итераций, убеждаемся, что Г, также не зави­ сит от р'. Выражение (13.36) для Г,(1) с Ли в виде петли можно

151

изобразить графически (рис. 14, а). На этом графике заштрихо­ ванный квадрат соответствует Го. Во втором приближении Ti изображается графиком б и т . д., так что диаграмма в соответ­ ствует решению уравнения (13.35) для Гь Рассматривая реше­ ние (13.35) для Ди вида г, д и т. д., получим для Ti график типа е.

Рис. 14. К построению четырехмерной термодинамической тео­ рии возмущений.

Аналогичный график ж получается для собственно энергетиче­ ской части.

Пусть

Тогда уравнение для %имеет вид уравнения Шредингера с пра­ вой частью:

так что решение для %выражается через ф-функции относитель­ ного движения двух частиц. Записывая в качестве Аи цепочку вместо петли, выполняя суммирование по четвертым компонен­

152

ший вклад в AQ дает член с n = k. Выделяя вклад основного со­

энергетической части, вставленной в G„ и Gl0, причем вместо петли по-прежнему записывается цепочка. В результате тако­

го потенциала рассматриваемой системы с точностью до чле­

Последний член в правой части обусловлен сдвигом основного состояния, и имеются реальные физические условия, когда этот член является основной поправкой к дебаевскому члену [вто­ рой член в правой части выражения (13.41)].

153