ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 189
Скачиваний: 0
Интегрирование является четырехмерным, т. е. отвечает обычному интегрированию по трехмерному пространству импуль сов р и суммированию по дискретным значениям четвертой ком поненты р4. Для системы частиц-фермионов
р4 = л(2/с + 1)/р. |
(13.4) |
Для системы бозонов суммирование необходимо проводить по четным значениям четвертой компоненты импульса:
р4 = 2л/с/0.
Согласно законам сохранения энергии и импульса при рассея нии частиц, Ри= р\ + Р2 —Рз- Уравнение для двухчастичной функ ции Грина G2 в «лестничном» приближении можно описать урав нением Бете—Солпитера (12.1). Введем функцию
Q (Pi> Pi\ Рз, Р*) — G2 (Pi, p-z', Рз, Pi) G0 1(p3) G0 1(p4) |
(13.5) |
||||||
и перейдем к системе центра масс согласно равенствам |
(12.2). |
||||||
Тогда из выражения (13.3) следует |
|
|
|
|
|||
ДО г - Q |
|
Q0 = |
£' |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
||
|
|
2 (2л)»р= |
|
|
|
|
|
где |
|
X Q(P, |
р', g) dpdp’dg, |
|
|
(13.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (Р', g) = Go (-f- + р) G0 ( “f1 — р) . |
|
(13.7) |
|||||
Уравнение для функции |
|
|
|
|
|
||
q ( ~ Y + P ’ |
~ |
f + p ' ’ “f — |
p ’) |
= Q(p , p ', S) |
|
||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
Q(P, P', g) |
= |
(2л)3 [6 (p - |
p') H- 6 (p + |
P')l |
+ |
X |
|
|
|
X Z )dqu(q)Q(p — q, p\ g) . |
|
|
(13.8) |
||
Просуммируем |
выражение (13.8) по p4, |
учитывая, |
что и(р) не |
||||
зависит от четвертой компоненты импульса. Тогда для функции
Q(p. р'. g) = |
2Q (p . р'. г) |
О3-9) |
|
|
|
Р4 |
|
получим неоднородное интегральное уравнение |
|
||
> - - ^ l Q ( P , р', g ) - ^ |
\ d w ( q ) Q ( p - q , р ' , g) = |
|
|
m J |
(2л)3 J |
|
|
= (2л)3 ( £ ' - |
) [б(p - p') + б (p + P')]• |
(13.10) |
|
144
Отметим, что при суммировании по р4 в выражении (13.9) исче зает р/. Выпадает также и сумма по <74, входящая в формулу (13.8). Это также легко проверить, если воспользоваться прави лом суммирования по четвертым компонентам импульсов, при веденным в § 12. Напомним, что
Ф(Р. 8) = |
(" Г + Р) °° ( " f ~ р) = |
|
||
р* |
|
___Р |
|
|
|
|
р2 |
|
|
|
‘g4 |
g2 |
|
|
|
— + 2ц. |
|
||
|
|
4т |
т |
|
С учетом этих замечаний и получено уравнение (13.10), где |
||||
Е' |
= ig4- | r 2/4m + 2p. |
(13.11) |
||
Отметим, что в приведенных |
выражениях ер = р2/т, |
поскольку |
||
рассматривается система одинаковых частиц. Член g2/4 т описы вает кинетическую энергию центра масс, где т — масса частицы.
Уравнение (13.10) имеет вид неоднородного уравнения Шредингера. Известно, что решение интегрального уравнения
(Е — Ер) ф (р) — J dpu (р — рх) ф (pi) = / (р).
можно выразить через собственные функции однородного урав нения <pi<:
ф(р) = |
|
(/■ Фк)Фк |
|
к |
£ - £ к |
||
|
|||
|
|
где (/, фк)= j / (Pi)фк (pi)^pi — скалярное произведение. Следо вательно, решение уравнения (13.10) легко выразить через соб ственные функции относительного движения двух частиц в поле с потенциалом и:
[6 (Р! — р ') + 6 (Pi + р ')] I Е’ |
Р\ |
tpk(Pi) Фк (Р) dPi |
|
т |
|||
Q ( P > р'> § ) = 2 J |
|
||
|
|
||
Е' — Еъ |
|
|
(13.12)
Выполнив в выражении (13.6) суммирование по р4, получим
AQ= /о |
I |
Г (Р'* 8)и (Р' —Р) Q(Р. Р'- g)dpdp'dg. (13.13) |
(2л)9 р3 |
,1 |
g J |
|
о |
|
Выражения (13.12) и (13.13) отвечают поставленной задаче нахождения AQ в системе с короткодействием. Поступим не сколько иначе. Введем функцию
X(Р) = Г (р)/[£' — (р2/т)],
145
где
Г (р) = fu(p' — p)Q(p/)dp'. |
(13.14) |
Тогда уравнение для функции %также имеет вид неоднородного уравнения Шредингера:
( £ ' - f |
) х (Р.) - - ^ г J « <Р. - PJ х (Р.) dPi = |
|
= |
(2я)3р [и (р' — ря) + и (р' + р2)]. |
(13.15) |
Выражая решение уравнения через волновые функции относи тельного движения частиц, подставляя его в выражение (13.13), выполняя суммирование по /?4, q4 и интегрируя по g', получаем в случае статистики Больцмана
|
|
Дй = |
|
( — Y /j f i l l х |
|
|
||
|
|
|
(2я)3 |
\ лр j |
.10 g' |
|
|
|
X J dp2 |
exp(_ $Ek) ( Ek — £ ‘)% (p )al,k(p)- |
(13.16) |
||||||
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
Это выражение |
является |
аналогом известной формулы Бе |
||||||
те — Уленбека |
для |
второго |
вириального коэффициента в кван |
|||||
товом случае. Ввиду очевидного равенства |
|
|
||||||
J = |
I ^ |
к"( Е к ~ |
1т ) 6ХР |
^ Фк (Р) Фк |
^ |
|
||
= |
ИФ |
ехр (— Р^к) Фк (р) фк (р') и (р — р') dp’ |
(13.17) |
|||||
после перехода к г-представлению |
|
|
|
|||||
|
|
|
e--^ |
f |
k) J Фк (r) и (r) Тк (r) dr- |
|
(^3.18) |
|
Здесь явно записано как квантовомеханическое усреднение энер гии взаимодействия, так и среднее по статистическому ансамб лю. Это ясно демонстриует физический смысл формулы Бете — Уленбека.
Перейдем в выражениях (13.16) и (13.18) к квазиклассическому пределу. Тогда
00
2J = J dr |
i еХр( ~ " ^ |
^Д U (ri (Г) d E ’ ( 13-19) |
|
U |
|
где |
|
|
со |
r [ m {E— « ) ! * / i |
|
|
|
(13.20) |
ф в(г)— квазиклассические волновые функции.
146
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
ф; (г) |
|
= < ? [ < " ( £ - £ - « ) ] - '■ • |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
r [ m ( E — и )]'/2 |
|
|
|
|||
С2 A j * |
С |
|
2И ! [ л .( Е - £ г - « ) ' |
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
выражение I(13.19) можно переписать в виде |
|
|||||
|
оо |
|
оо |
|
|
|
2J — — |
Г и (г) dr Г |
ехр (— рЕ) dE х |
||||
п |
,) |
|
J |
dE |
|
|
г [ т ( Е — и) ]'/2 |
|
2 |
ldl-C* |
|
||
X |
|
|
|
|
||
1 |
|
г |
/ |
/2 |
М |
|
|
|
7\т ( Е — ----- — и ) |
||||
|
|
|
L |
\ |
™ 2 |
J\ |
Выполнив в выражении |
(13.19) интегрирование по I, получим |
|||||
п (Е) = |
4 |
f r2dr [т(Е —u)]‘f |
||||
---- |
||||||
|
|
Зя |
J |
|
|
|
Отсюда |
|
|
об |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0° |
——= — т \r2dr[m(E — «)]’ |
|
Я |
J |
Нетрудно видеть, что |
О |
|
|
С2 = — |
f гЧг [т (Е — и)]'1' |
Далее получим |
О |
|
|
2 |
j* ехр(—РЕ)[т(Е — u)]4 l dE, |
2J = — m ^ r 2u(r)dr |
|
Л 6 |
и(л) |
оо
jехр (— рЕ) [т (Е — w)]‘/adE — т 1гехр (— Pw) X
и( г )
|
СО |
|
|
|
X |
f ехР (— Ре) е'/гde = |
( - у - ) ,/г ехр (— р«). |
||
В результате вместо формулы (13.16) получим |
||||
AQ = |
ехР |
f JH—у |
Г Jb- |
Г 4лг2Хи ехр (— рДг) dr = |
|
16 |
\ лр J |
.) I |
J |
147
|
oo |
I |
|
■J [exp (— §u)—1] 4nr2dr, |
= |
J 4яг2ы (г) dr j exp (—§Яи) dX =- |
2p |
||
|
|
|
|
о |
(13.21)
где
l = exp (Pp) (т/2лР) 4
Формула (13.21) совпадает с выражением для ДЙ, обусловлен ным вторым вириальным коэффициентом в классическом случае.
Система частиц с кулоновским взаимодействием
Поскольку кулоновские силы являются дальнодействующими, при разложении термодинамических величин по степеням плотности газа уже в первом члене нельзя ограничиться парны ми взаимодействиями. Необходимо учитывать влияние многих кулоновских частиц. Рассмотрим систему электронов на фоне равномерно распределенного положительного заряда. Для кор ректного учета взаимодействия следует ввести эффективный по тенциал, представляющий собой цепочку из электронных петель.
Поскольку в данной задаче существенны расстояния е2|33>ао (а0— боровский радиус), можно рассмотреть адиабатическое приближение. Будем считать, что эффективное взаимодействие, описываемое функцией u*(q, q4), не зависит от q4. Тогда в де баевском пределе
П (q, qt) -> — р/г,
где п — плотность электронов. После вычислений, аналогичных приведенным в предыдущем разделе, получим
|
|
|
о |
|
|
|
Х ^ е х р ( - Р £ ^ к ( р ') # ) , |
03.22) |
|||
|
|
к |
|
|
|
где ф к(р )— волновые |
функции |
для дебаевского |
потенциала |
с |
|
зарядом еХ 1/2, |
1. |
сходящимся, если вычесть |
из |
||
Выражение |
(13.22) |
является |
|||
него первый член теории возмущений ДЙ1= (п2/2)и(0), который выпадает в реальной плазме вследствие ее квазинейтральности. В квазиклассическом случае (<?2/Йу^>1) аналогично предыдуще му разделу получим следующее выражение:
1 ОО
рДЙ = 2я| 2 (е2Р)3 [ХЧХ j tdt {exp [(Г1 exp (— «01 — 1}, (13.23)
оо
148