Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

намических функций, выражается через только что подробно

[см. формулу (17.5)], представляющую собой бесконечную сумму многократных интегралов. Каждому из этих интегралов поставлено в соответствие 12 неприводимых диаграмм специаль­ ного вида (кустовые диаграммы) [6]. В каждой из этих диа­ грамм единственной линии соответствует Г, а л линиям ста­ вится в соответствие выражение

Поскольку необходимо оценить Х2 в наинизшем порядке по е, можно заменить Г па Го и f на foИнтегралы, входящие в это выражение, конечны и при R-+0, так что вычисление не натал­ кивается на принципиальные трудности. В указанном прибли­ жении Х2 вычисляется аналитически:

202

Выпишем полезные формулы для различных областей измене­ ния характерных параметров:

при R < е

+ 0 (er-*)].

Последнее выражение показывает, что иц(#) спадает экспо­ ненциально при больших R, член же порядка #~® сокращается.

Вычислим теперь корреляционную энергию, обусловленную электростатическим взаимодействием. Определим ее следующим образом *:

* Предлагаем читателю связать корреляционную энергию с термодина­ мическим потенциалом системы Q или со свободной энергией F.

203

Член со знаком минус обусловлен взаимодействием с зарядовым фоном. Чтобы вычислить корреляционную энергию, включая члены порядка е2, достаточно написать

Первый член в этом выражении соответствует приближению Дебая — Хюккеля.

Отметим также, что выражение (17.27) соответствует вириалыюму разложению свободной энергии однокомпонентной разреженной плазмы по степеням плотности, включая члены, квадратичные по п. Это разложение было получено неодно­ кратно в предыдущих главах разными способами. Казалось бы, зачем получать это выражение еще раз? Можно сказать, что разложение (17.24) получено как предельное решение выве­ денных ранее более общих соотношений. Следовательно, переход к малым е и учет членов ~ е 2 является лишь проверкой под­ хода к решению задачи. Попытаемся проанализировать об­ ласти больших плотностей. Оказывается можно просуммировать ряд сравнительно простых цепных диаграмм, вклад которых в термодинамические функции становится существенным при приближении дебаевского параметра к единице (рис. 23). Вклад от ряда диаграмм, показанных на рис. 23, а, равен

Пусть A(R) =bS(R) +fi(R) и Т ( R ) — вклад от ряда цепных диаграмм, изображенных на рис. 23, б. В результате фурье-пре- образования получаем

~ f 2i(R) ~ е 4//?4. Учитывая это, можно показать, что основной

204

пеэкспоненциальпый член в выражении для T(R) асимптоти­ чески изменяется как е4/?-10. Теперь можно записать диаграммы в терминах Т-линий вместо Г-линий. Так, диаграмме с п Т-ли­ ниями вместо Г следует поставить в соответствие выражение вида

(д!)-1 [Т — (S f Г)]" + \{п — l)!!"1 (S - I - Г) [Т — (S + Г)]"-1. (17.30)

(S;

о-

а

Рис. 23. Диаграммы:

Тогда обобщением для бинарной функции корреляции вместо выражения (17.5) служит формула

включает графики, изображенные на рис. 22. Следовательно, остающиеся графики, относящиеся к Хт, имеют порядок е 3 (для е<§;1). Эти члены возникают от диаграмм, изображенных на рис. 23, в.

Оказывается возможным просуммировать Г-линии следую­ щим образом. Пусть S'(R) и T'(R) описывают вклад диаграмм

205

типа а и б, где Г-линии заменены соответственно 7-линиями. Тогда

S' (R) = [1 + S (R) + Г (£)] exp [ Т (R) - S ( R ) - T (R)] -

Таким образом, 7' содержит 7. Кроме того, 7' содержит члены, не входящие в 7 (для е<С1), которые возникают от диаграмм в. Эти члены имеют порядок е3. Члены в Хт', не содержащиеся в Хт, также возникают от диаграмм типа в.

Указанный процесс может быть продолжен итерационно до бесконечности. При этом можно надеяться (хотя это и трудно доказуемо), что ряд Т, Т', . . . сходится к предельной функ­ ции 7°°. Интересен анализ результатов, полученных численно. На рис. 21 построена вспомогательная функция T(R), которая в дебаевском пределе переходит в To{R)- Если известна функ­

вычисления 7 (к). Обратное преобразование Фурье, выполнен­ ное численно, приводит к выражению для T(R). Далее, из выражений (17.32) и (17.34) получаем A' (R). Соответствующее обращение этого выражения по Фурье дает А'(к). Тогда по формуле (17.33) вычисляем Т'(к), из которого получается иско­ мая функция T'(R).

Вычислив эти вспомогательные функции, можно сделать ряд

различие находится в пределах 10%. Вычисление следующего приближения Т" указывает на возможность очень быстрой схо­

вычислении этих выражений были отброшены члены порядка е3.) Отношения этих разностей к дебаевской функции парной кор­ реляции w0(R) слабо отличаются от единицы. Так, при е = ’/з максимальное отклонение отношения [A (R) — T(R)]/w0(R) от единицы составляет 10%, а соответствующее отношение величин со штрихами отличается от единицы не более чем на 3%. От­ метим, что и при е->1 не происходит качественного изменения этого отношения и оно даже в этом случае близко к единице.

206