ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 216
Скачиваний: 0
Приведем численные результаты для двух физических вели чин, представляющих интерес. Первая из них — потенциальная энергия, приходящаяся на одну частицу и обусловленная поля ризующим облаком, окружающим фиксированный заряд, поме щенный в начале координат: w(0)-—и(0). Эта величина получена с помощью четырех последовательных приближений при вычислении функции w(R). Результаты представлены в табл. 4 [6].
|
|
|
|
Т а б л и ц а 4 |
Результаты |
последовательных приближений для величины и (0)— w (0) |
|||
|
при различных значениях в |
|
||
е |
И с х о д я и з ш 0 |
И с х о д я и з п р и |
И с х о д я и з Г — А |
И с х о д я и з Т ' — А* |
б л и ж е н и я м а л ы х R |
||||
0 , 1 |
0 , 1 0 0 |
0,091 |
0,085 |
0,086 |
0,33 |
0,33 |
0,37 |
0,24 |
0,25 |
1 |
1 , 0 0 |
2,43 |
0,56 |
0,60 |
Как видно из таблицы, результаты, полученные с помощью парной функции корреляции, определяемой выражением (Г — А) и (Т' — А'), весьма близки.
Другая величина, представляющая непосредственный инте рес, так как через нее выражается свободная энергия системы, есть Дкорр, определенная формулой (17.26). В табл. 5 пред ставлена величина —2£КОрр для трех значений е. Вторая графа таблицы получена подстановкой е в дебаевское выражение (что заведомо неправомерно для е — 1), третья графа — резуль
тат аналогичного |
вычисления |
по формуле (17.27). |
Для |
е=1 |
|||||
эта операция также противозаконна, так как |
формула (17.27) |
||||||||
представляет |
собой |
разложение корреляционной |
энергии |
по |
|||||
малому дебаевскому параметру е. Четвертая графа |
таблицы — |
||||||||
результат |
численного |
интегрирования выражения |
(17.26), |
где |
|||||
в качестве |
w(R) |
использована |
функция w0(R). |
Наконец, |
по |
||||
следние две |
графы |
таблицы |
представляют |
собой |
результат |
численного интегрирования выражения (17.26) с использованием функций U = T — А и f2 = T' — А'.
Т а б л и ц а 5
Различные приближения для величины—2 £ КОрр£
Б |
П р и б л и ж е н и е |
П р и б л и ж е н и е |
И с х о д я и з w„ |
И с х о д я и з |
И с х о д я и з |
1 - г о п о р я д к а |
2 - г о п о р я д к а |
А — Т |
Л ' — Т ' |
||
|
|
|
|
|
0,1 |
0,100 |
0,0931 |
0,0889 |
0,0905 |
0,0904 |
0,33 |
0,333 |
0,323 |
0,258 |
0,279 |
0,274 |
1 |
1,000 |
1,460 |
0,625 |
0,792 |
0,778 |
207
Это вычисление позволяет сделать интересные выводы. Вопервых, численные результаты, полученные с помощью после
довательного |
усложнения |
цепных диаграмм [приближения |
А — Т и А'—Т |
для w(R)], |
мало отличаются даже для г = 1. |
Во-вторых, использование дебаевского приближения с поправ ками в случае умеренно плотной плазмы дает заведомо непра вильный результат. В то же время использование просто дебаев ского приближения для е=1 является более оправданным, чем вычисление по формуле (17.27). В-третьих, вычисление кор реляционной энергии, а следовательно, и свободной энергии системы является не очень грубым, если использовать в точных
выражениях |
для этих величин |
w0( R ) — корреляционную |
функ |
|
цию в дебаевском |
приближении. Последнее обстоятельство — |
|||
проявление |
общего |
правила, о |
котором упоминалось в |
одной |
из предыдущих глав: для получения неплохого результата для термодинамических функций нет надобности вычислять корре ляционные функции с большой степенью точности. Так, исполь зование дебаевского приближения для бинарной функции кор реляции (когда мы считаем, грубо говоря, дебаевский потен циал потенциалом парного взаимодействия в системе кулонов ских частиц) приводит к правильному выражению для свободной энергии системы. Если же подменить реальное взаимодействие дебаевским при вычислении вириальных коэффициентов, то получим неверный результат.
В рассмотрении, приведенном выше, получается сходимость численного счета, которая говорит о том, что область приме нимости дебаевского приближения «затягивается». Это можно, по-видимому, объяснить «игрой численных коэффициентов» или тем обстоятельством, что дебаевское приближение есть не только приближение первого порядка при разложении термодинамиче ских величин по плотности, но и приближение самосогласован ного поля. В теоретической физике известны примеры, когда приближение самосогласованного поля дает лучшие результаты, чем этого можно было бы ожидать на основе буквенного кри терия применимости этого приближения.
§ 18. КЛАССИЧЕСКАЯ ПЛОТНАЯ ПЛАЗМА
Как показано в первой главе, существует область термодина мических условий, когда отношение средней энергии взаимодей ствия пары кулоновских частиц к их средней кинетической энергии велико, но система еще далека от вырождения и подчинена статистике Больцмана. Такую плазму можно на звать классической плазмой с сильным взаимодействием. Об ласть возможных значений температуры и плотности для случая водородной плазмы обозначена на рис. 1 как область II. Параметр
Лкл = е2Р/г0« е2Р«'/* > 1 |
(18•1) |
208
характеризует систему кулоновских частиц с сильным взаимо действием. Плотность частиц в такой системе велика.
Впервые систему кулоновских частиц с сильным взаимо действием рассмотрел Вигнер. Он рассмотрел, однако, случай достаточно разреженного вырожденного электронного газа на фоне компенсирующего положительного заряда, когда среднеерасстояние между электронами велико по сравнению с атомными
размерами (rs = r0/ao ^20). |
Поскольку кинетическая |
энергия |
|
вырожденной |
системы |
пропорциональна энергии |
Ферми |
eF~ h 2n2l3j2m, |
то при достаточно больших rs кинетическая энер |
гия становится малой по сравнению с энергией взаимодействия. При этом возникают условия, при которых электроны имеют возможность локализоваться и образовать упорядоченную струк
туру. |
В этом случае говорят о так называемом в и г |
н е р о в - |
|
с к о м |
э л е к т р о н н о м |
к р и с т а л л е . Подробнее |
остано |
вимся на модели Вигнера в следующей главе при рассмотрении термодинамики электронного газа.
Используя рассуждения Вигнера, можно было бы предпо ложить, что система в области II, являющаяся классической плазмой с сильным взаимодействием, представляет собой элек тронно-ионный кристалл (если для определенности рассмотреть водородную плазму с ЛЙ = г]кл)• Предположим, что такой кри
сталл существует. Нетрудно показать, однако, что для элек тронно-ионного кристалла имеет место правило сумм для частот нормальных колебаний соДк):
2 «2(/с) = 0, |
(18.2) |
где суммирование проводится по всем ветвям спектра колеба ний кристалла [2]. Если это так, то в спектре колебаний имеются мнимые частоты, соответствующие неустойчивым модам колебаний. Действительно, амплитуда смещений атомов в эле ментарной ячейке кристалла удовлетворяет системе уравнений:
|
|
|
(18.3) |
где u(i) — амплитуда |
смещения г-го атома в |
элементарной |
|
ячейке; D a$— динамическая |
матрица, связанная с силовыми |
||
постоянными |
|
|
|
D“' ( i e ) = |
V X |
Ф “ в ( « О ехр 1>кх т |
(18'4> |
rtii — масса i-ro атома; |
|
|
|
209
-Здесь |
ф (г)— сферически симметричный потенциал |
взаимодей |
ствия |
атомов; г [1{,— расстояние между атомами (/, |
i) и (I i'), |
а суммирование проводится по всем ячейкам. Для электронноионного кристалла
Ф (г) = eiei,/r.
Тогда
Фар |
1 - 1 ' |
е,с. |
|
|
а' |
К |
) 3 |
з \х.а \1 |
(?)1 Ый |
(18.5) |
|
|
|
к г |
|
где х( с)— радиус-вектор t-ro атома в l-й ячейке. Для вывода правила сумм (18.2) удобно переписать уравнения (18.3) в мат ричном виде:
D (к) Uj = со? (к) Uj, |
(18.6) |
где / характеризует различные ветви спектра колебаний; н,- — нормированные па единицу собственные векторы матрицы D ( k ) . Отсюда следует, что
SpD (к) — V со? (к). |
(18.7) |
||
Нетрудно видеть, с другой стороны, что |
|
||
SpD(K) = ^ D |
aa^ . V |
(18.8) |
|
|
a ,i |
|
|
Тогда из выражений (18.4) и (18.5) получим |
|
||
Dn |
и |
= 0. |
(18.9) |
|
|
|
Следовательно, последние три соотношения приводят к правилу сумм (18.2), из которого следует неустойчивость электронноионного кристалла.
Таким образом, в системе, состоящей только из заряженных частиц, либо электроны, либо ионы, либо частицы того и другого сорта должны находиться в неупорядоченном состоянии. При этом нельзя представить себе газ с сильным взаимодействием. Следовательно, изучаемая система должна рассматриваться как жидкость, состоящая из заряженных частиц. Оказывается (это покажем ниже), что члены в термодинамических функциях такой системы, ответственные за взаимодействие, не зависят от масс частиц, а в случае водородной плазмы полностью сим метричны относительно протонов и электронов. Поэтому в водо
210