Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 216

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Приведем численные результаты для двух физических вели­ чин, представляющих интерес. Первая из них — потенциальная энергия, приходящаяся на одну частицу и обусловленная поля­ ризующим облаком, окружающим фиксированный заряд, поме­ щенный в начале координат: w(0)-—и(0). Эта величина получена с помощью четырех последовательных приближений при вычислении функции w(R). Результаты представлены в табл. 4 [6].

 

 

 

 

Т а б л и ц а 4

Результаты

последовательных приближений для величины и (0)— w (0)

 

при различных значениях в

 

е

И с х о д я и з ш 0

И с х о д я и з п р и ­

И с х о д я и з Г — А

И с х о д я и з Т ' — А*

б л и ж е н и я м а л ы х R

0 , 1

0 , 1 0 0

0,091

0,085

0,086

0,33

0,33

0,37

0,24

0,25

1

1 , 0 0

2,43

0,56

0,60

Как видно из таблицы, результаты, полученные с помощью парной функции корреляции, определяемой выражением (Г — А) и (Т' А'), весьма близки.

Другая величина, представляющая непосредственный инте­ рес, так как через нее выражается свободная энергия системы, есть Дкорр, определенная формулой (17.26). В табл. 5 пред­ ставлена величина —2£КОрр для трех значений е. Вторая графа таблицы получена подстановкой е в дебаевское выражение (что заведомо неправомерно для е — 1), третья графа — резуль­

тат аналогичного

вычисления

по формуле (17.27).

Для

е=1

эта операция также противозаконна, так как

формула (17.27)

представляет

собой

разложение корреляционной

энергии

по

малому дебаевскому параметру е. Четвертая графа

таблицы —

результат

численного

интегрирования выражения

(17.26),

где

в качестве

w(R)

использована

функция w0(R).

Наконец,

по­

следние две

графы

таблицы

представляют

собой

результат

численного интегрирования выражения (17.26) с использованием функций U = T А и f2 = T' А'.

Т а б л и ц а 5

Различные приближения для величины—2 £ КОрр£

Б

П р и б л и ж е н и е

П р и б л и ж е н и е

И с х о д я и з w„

И с х о д я и з

И с х о д я и з

1 - г о п о р я д к а

2 - г о п о р я д к а

А — Т

Л ' — Т '

 

 

 

 

 

0,1

0,100

0,0931

0,0889

0,0905

0,0904

0,33

0,333

0,323

0,258

0,279

0,274

1

1,000

1,460

0,625

0,792

0,778

207


Это вычисление позволяет сделать интересные выводы. Вопервых, численные результаты, полученные с помощью после­

довательного

усложнения

цепных диаграмм [приближения

А Т и А'Т

для w(R)],

мало отличаются даже для г = 1.

Во-вторых, использование дебаевского приближения с поправ­ ками в случае умеренно плотной плазмы дает заведомо непра­ вильный результат. В то же время использование просто дебаев­ ского приближения для е=1 является более оправданным, чем вычисление по формуле (17.27). В-третьих, вычисление кор­ реляционной энергии, а следовательно, и свободной энергии системы является не очень грубым, если использовать в точных

выражениях

для этих величин

w0( R ) — корреляционную

функ­

цию в дебаевском

приближении. Последнее обстоятельство —

проявление

общего

правила, о

котором упоминалось в

одной

из предыдущих глав: для получения неплохого результата для термодинамических функций нет надобности вычислять корре­ ляционные функции с большой степенью точности. Так, исполь­ зование дебаевского приближения для бинарной функции кор­ реляции (когда мы считаем, грубо говоря, дебаевский потен­ циал потенциалом парного взаимодействия в системе кулонов­ ских частиц) приводит к правильному выражению для свободной энергии системы. Если же подменить реальное взаимодействие дебаевским при вычислении вириальных коэффициентов, то получим неверный результат.

В рассмотрении, приведенном выше, получается сходимость численного счета, которая говорит о том, что область приме­ нимости дебаевского приближения «затягивается». Это можно, по-видимому, объяснить «игрой численных коэффициентов» или тем обстоятельством, что дебаевское приближение есть не только приближение первого порядка при разложении термодинамиче­ ских величин по плотности, но и приближение самосогласован­ ного поля. В теоретической физике известны примеры, когда приближение самосогласованного поля дает лучшие результаты, чем этого можно было бы ожидать на основе буквенного кри­ терия применимости этого приближения.

§ 18. КЛАССИЧЕСКАЯ ПЛОТНАЯ ПЛАЗМА

Как показано в первой главе, существует область термодина­ мических условий, когда отношение средней энергии взаимодей­ ствия пары кулоновских частиц к их средней кинетической энергии велико, но система еще далека от вырождения и подчинена статистике Больцмана. Такую плазму можно на­ звать классической плазмой с сильным взаимодействием. Об­ ласть возможных значений температуры и плотности для случая водородной плазмы обозначена на рис. 1 как область II. Параметр

Лкл = е2Р/г0« е2Р«'/* > 1

(18•1)

208


характеризует систему кулоновских частиц с сильным взаимо­ действием. Плотность частиц в такой системе велика.

Впервые систему кулоновских частиц с сильным взаимо­ действием рассмотрел Вигнер. Он рассмотрел, однако, случай достаточно разреженного вырожденного электронного газа на фоне компенсирующего положительного заряда, когда среднеерасстояние между электронами велико по сравнению с атомными

размерами (rs = r0/ao ^20).

Поскольку кинетическая

энергия

вырожденной

системы

пропорциональна энергии

Ферми

eF~ h 2n2l3j2m,

то при достаточно больших rs кинетическая энер­

гия становится малой по сравнению с энергией взаимодействия. При этом возникают условия, при которых электроны имеют возможность локализоваться и образовать упорядоченную струк­

туру.

В этом случае говорят о так называемом в и г

н е р о в -

с к о м

э л е к т р о н н о м

к р и с т а л л е . Подробнее

остано­

вимся на модели Вигнера в следующей главе при рассмотрении термодинамики электронного газа.

Используя рассуждения Вигнера, можно было бы предпо­ ложить, что система в области II, являющаяся классической плазмой с сильным взаимодействием, представляет собой элек­ тронно-ионный кристалл (если для определенности рассмотреть водородную плазму с ЛЙ = г]кл)• Предположим, что такой кри­

сталл существует. Нетрудно показать, однако, что для элек­ тронно-ионного кристалла имеет место правило сумм для частот нормальных колебаний соДк):

2 «2(/с) = 0,

(18.2)

где суммирование проводится по всем ветвям спектра колеба­ ний кристалла [2]. Если это так, то в спектре колебаний имеются мнимые частоты, соответствующие неустойчивым модам колебаний. Действительно, амплитуда смещений атомов в эле­ ментарной ячейке кристалла удовлетворяет системе уравнений:

 

 

 

(18.3)

где u(i) — амплитуда

смещения г-го атома в

элементарной

ячейке; D a$— динамическая

матрица, связанная с силовыми

постоянными

 

 

 

D“' ( i e ) =

V X

Ф “ в ( « О ехр 1>кх т

(18'4>

rtii — масса i-ro атома;

 

 

 

209



-Здесь

ф (г)— сферически симметричный потенциал

взаимодей­

ствия

атомов; г [1{,— расстояние между атомами (/,

i) и (I i'),

а суммирование проводится по всем ячейкам. Для электронноионного кристалла

Ф (г) = eiei,/r.

Тогда

Фар

1 - 1 '

е,с.

 

 

а'

К

) 3

з \х.а \1

(?)1 Ый

(18.5)

 

 

к г

 

где х( с)— радиус-вектор t-ro атома в l-й ячейке. Для вывода правила сумм (18.2) удобно переписать уравнения (18.3) в мат­ ричном виде:

D (к) Uj = со? (к) Uj,

(18.6)

где / характеризует различные ветви спектра колебаний; н,- — нормированные па единицу собственные векторы матрицы D ( k ) . Отсюда следует, что

SpD (к) — V со? (к).

(18.7)

Нетрудно видеть, с другой стороны, что

 

SpD(K) = ^ D

aa^ . V

(18.8)

 

a ,i

 

 

Тогда из выражений (18.4) и (18.5) получим

 

Dn

и

= 0.

(18.9)

 

 

 

Следовательно, последние три соотношения приводят к правилу сумм (18.2), из которого следует неустойчивость электронноионного кристалла.

Таким образом, в системе, состоящей только из заряженных частиц, либо электроны, либо ионы, либо частицы того и другого сорта должны находиться в неупорядоченном состоянии. При этом нельзя представить себе газ с сильным взаимодействием. Следовательно, изучаемая система должна рассматриваться как жидкость, состоящая из заряженных частиц. Оказывается (это покажем ниже), что члены в термодинамических функциях такой системы, ответственные за взаимодействие, не зависят от масс частиц, а в случае водородной плазмы полностью сим­ метричны относительно протонов и электронов. Поэтому в водо­

210