Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

родной плазме как систему электронов, так и систему ионов можно рассматривать как жидкости.

Не исключено, что рассматриваемая система с сильным: взаимодействием может оказаться устойчивой. Так, в несим­ метричной плазме ( 1 ф \ ) в результате более сильного взаимо­ действия между ионами в определенных термодинамических условиях может образоваться система, в которой ионы упоря­ дочены, а электроны образуют жидкость. Эта проблема еще ждет своего решения.

Термодинамика классической системы кулоновских частиц с сильным взаимодействием была рассмотрена в 1952 г. Берли­ ном и Монтроллом на основе метода, предложенного Крамерсом [5]. Решение задачи выглядит очень изящно, но не совсем понятно, во всяком случае, автору этой книги. Выражение для свободной энергии было получено Берлином и Монтроллом в

Fm — свободная энергия термодинамически идеальной системы. Отметим, что авторы ввели отталкивание на малых расстояниях между частицами, устранив тем самым трудности с «падением частицы на центр». Однако в конечный результат (18.10) корот­ кодействующие силы или какой-либо параметр короткодействия не входит. Это не совсем понятно. Непонятно и другое: как в системе частиц с сильным взаимодействием, когда плотность частиц велика, удается в явном виде выделить член в свободной энергии (Fnд), соответствующий системе невзаимодействующих частиц. Казалось бы, если плотность частиц велика, необходимо учитывать, кроме того, возможность образования связанных состояний, если рассматривается система разноименных по знаку частиц.

Дифференцируя выражение (18.10) по объему при неизмен­ ныхчисле частиц N и температуре (З-1, получаем уравнение состояния плазмы:

где первый член в правой части соответствует идеальному газу. Если вычислить коэффициент сжимаемости (dP/dV) р, то не­ трудно видеть, что знак этого коэффициента положителен. Это означает, что рассматриваемая система не может быть устой­ чивой. Так обстоит дело в плотной ионизованной плазме (во

211

всяком случае, для ее модели, рассмотренной Берлином и

Монтроллом).

Что произойдет, если такую плазму разбавить нейтральными частицами? Может создаться впечатление, что полученная та­ ким образом частично ионизованная плазма устойчива. Это утверждение делается в работе [2], которое, по-видимому, можно поставить под сомнение. Если считать, что в частично ионизованной плазме взаимодействие между атомами и заря­ женными частицами отсутствует полностью (это предположение делается в указанной работе), то, казалось бы, частично иони­ зованная плазма с сильным взаимодействием кулоновских ча­ стиц может быть устойчивой. Действительно, нейтральная компонента внесет в уравнение состояния (18.12) дополнитель­ ный член +па/р. Тогда вычисление коэффициента сжимаемости приводит к одному из условий термодинамической устойчивости ■системы:

Формально это неравенство указывает область термодинами­ ческих параметров, где система может оказаться устойчивой. Однако выполнения неравенства (18.13) недостаточно для

•обеспечения термодинамической устойчивости системы. Необ­ ходимо также выполнение неравенства

где ра, Na— химический потенциал и число атомов. Нетрудно видеть, что это неравенство эквивалентно одному из условий устойчивости заряженной компоненты. Поэтому подмешивание нейтрального газа к сильно неидеальной классической плазме не может в рассматриваемой модели привести к устойчивости системы. Следует отметить, что в плотной плазме необходимо учитывать также взаимодействие заряженных частиц с ней­ тральными атомами.

Кроме того, при больших плотностях устойчивость системы должна определяться отталкиванием частиц на малых рас­ стояниях. Существенным при этом становится и межатомное взаимодействие. Поэтому как в выражение для уравнения со­ стояния, так и в условие устойчивости должен входить пара­ метр короткодействия (например, размер защитной сферы в модели твердых шариков). Отметим также, что неустойчивость, приводящая к конденсации с образованием двухфазной системы, должна, по-видимому, проявляться уже при таких плотностях, когда коэффициент сжимаемости еще отрицателен. Такое явле­ ние наблюдается, например, в обычной вандерваальсовой си­ стеме.

21.2

Взаимодействие частиц в плазме приводит к уменьшению давления в объеме при заданных значениях плотности и тем­

увеличения степени ионизации. Этот вопрос обсуждался во вто­

рой главе.

В низкотемпературной частично ионизованной плазме могут существовать такие условия, когда при больших давлениях число заряженных частиц в единице объема мало по сравнению с числом нейтральных атомов, т. е. в случае однократной иони­ зации:

Если плотность нейтральной компоненты плазмы велика, то необходимо учесть вклад в термодинамику взаимодействия заряженная частица — атом и атом — атом.

Рассмотрим качественно, как повлияет па свободную энергию плотной частично ионизованной плазмы в случае условия (18.14) учет термодинамической неидеальности системы, о кото­ рой идет речь. Предположим плотность заряженных частиц такой, что их взаимодействием между собой можно пренебречь. Поскольку не рассматриваются далыюдействующие кулоновские силы, выражение для свободной энергии в приближении парных соударений частиц можно записать в виде

F = [ехр(_Ри/к)~ '11 dVidVK' (18Л5)

где индексы j и к нумеруют сорта частиц и принимают зна­ чения 1, 2, 3; F’ — свободная энергия идеальной подсистемы

ввыражение (18.15):

А= — j [1 — ехр(— ыоаР)] dVadVa;

сорта. Для вычисления В н С рассмотрим характер взаимо­ действия иона и электрона с нейтральным атомом. Вблизи иона

213

атом поляризован полем иона. Дипольный момент атома вблизи иона d = ea/r2, где г — расстояние иона до центра атома; а — по­ ляризуемость атома. Потенциал ф, создаваемый диполем в точке нахождения иона,

Отсюда энергию взаимодействия иона с поляризованным ато­ мом можно записать в виде

ком мала, то вплоть до расстояний того же порядка можно считать, что нг1|3<с1. Тогда, разлагая экспоненту в выражении (18.16) в ряд, ограничиваясь членом, линейным по этой вели­ чине, и переходя к интегрированию по относительным перемен­ ным, получаем

где Ь' соответствует интегралу от 0 до 2а. Величина Ь', как и постоянная Ван-дер-Ваальса Ь, обусловлена взаимной непро­ ницаемостью частиц. Эти величины, очевидно, одного порядка.

Подставляя выражение (18.19) в формулу (18.20), получаем

При интегрировании выражения для С область интегрирования от 0 до оо была разбита на подобласти (0 , а) и (а, о о ).

В результате получаем следующее выражение для свободной энергии системы:

В = £ р > д + ^ ( Ь - а Р ) + - ? ^ ( Ь ' - а ' Р ) +

Поскольку изменения различных термодинамических величин при малых изменениях внешних условий или свойств системы

214

равны [(6Ф)Р= (бF)v], то можно сразу написать формулу для термодинамического потенциала

Будем считать, что выполнены такие условия, когда опреде­ ляющий вклад в статистическую сумму Za по связанным со­ стояниям вносит лишь основное состояние атома. Тогда закон действующих масс щ, = цг + це приводит к уравнению иониза­ ционного равновесия вида

которое является обобщением известной формулы Саха; сj — концентрации отдельных компонент плазмы;

f (Р) = Ра [Ф— 26' — 26") + (6а' — а) Р].

Поскольку в рассматриваемых условиях Р „—Р, где Р — полное давление в плазме, а концентрации связаны со степенью иони­ зации и:

Ci = с е = а /( а + 1), са = (1 — а)/(1 + а ) ,

то получим выражение, весьма удобное для вычислений:

Из-за наличия экспоненциального множителя в этой формуле при достаточно больших давлениях Р степень ионизации a, a следовательно, и электропроводность плазмы должны увели­ чиваться *. Напомним, что для термодинамически идеальной системы, когда ехр[—р/(Р)] = 1, степень ионизации всегда па­ дает с увеличением давления. Следовательно, как функция давления степень ионизации должна проходить через минимум. Этот минимум, как легко видеть, соответствует значению

* Этот эффект наблюдается и экспериментально [1].

215