Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

дессу, когда электрон возбуждается из сферы Ферми и девозбуждается в исходное состояние с одной и той же передачей импульса, возникает формально в результате накопления мно­ жителей k~2. С другой стороны, в члене, соответствующем обменному процессу, расходимости не возникает, поскольку там

на значении kmui = ka. Окончательный результат не должен зави­ сеть от k0.

При рассмотрении членов высших порядков опустим пока числовые множители и будем интересоваться только зависи­ мостью от гх и степенью расходимости различных членов. Рас­ смотрим сначала структуру очень простого класса диаграмм, в ко­ торых число участвующих частиц максимально велико, т. е. равно порядку диаграмм. Наиболее расходящийся член третьего порядка опять соответствует электронным переходам с одной и той же передачей импульса к (рис. 30, а). Этот член описывает

следующий процесс.

Рис. 30. Кольцевые диаграммы третьего и четвертого порядков по константе взаимодействия.

вращается в исходное состояние, где возбуждения отсутствуют. Этот член легко оценить при к->-0. По сравнению с [см. фор­

254

области фазового пространства вследствие принципа Паули. В результате вклад в энергию основного состояния от процесса, представленного диаграммой на рис. 30, а, содержит расходи­ мость второго порядка:

Если рассмотреть диаграмму третьего порядка обменного типа, то для соответствующего вклада в энергию основного состояния получим

Аналогично члены, включающие два обменных процесса рассея­ ния, дадут вклад

Eic) =* rsRy.

Рассмотрим члены четвертого порядка. Слагаемые, учи­ тывающие электронные переходы с одной и той же передачей импульса (эти члены изображаются кольцевыми диаграммами типа показанных на рис. 30,6), дают следующий вклад в энер­ гию основного состояния системы

Члены же, описывающие по одному обменному процессу, дают

процесса, — вклад порядка r~s и т. д.

Таким образом, структура ряда теории возмущений ста­ новится ясной. Наибольшей сингулярностью обладают члены, соответствующие прямым процессам с одинаковой передачей импульса к и изображаемые кольцевыми диаграммами. Следо­ вательно, суммирование этих диаграмм должно внести основной вклад в энергию основного состояния электронного газа. Если при малых значениях гя учесть вклад от кольцевых диаграмм полностью, а в остальных членах сохранить лишь сингулярные вклады, наиболее расходящиеся при малых к, то получим выра­ жение, определяющее корреляционную энергию системы в пре-

255

деле высокой плотности. В этом приближении общая структура разложения для корреляционной энергии по малому параметру гя может быть записана в виде

появляется в связи с учетом отрицательного знака энергети­ ческого знаменателя. Для определения постоянных Сп необхо­ димо просуммировать вклады от всех кольцевых диаграмм до заданного порядка. Гелл-Маном и Бракнером был построен довольно сложный метод суммирования кольцевых диаграмм, несколько отличный от графического метода Фейнмана. Не бу­ дем подробно останавливаться здесь на технике суммирования,

Интеграл no q в выражении (23.2) достаточно сложен для вы­ числения. Однако можно воспользоваться тем, что основной

вклад (помимо Eib) ) соответствует малым значениям q. Это непосредственно следует из формулы (23.1). При п > 3 все инте­ гралы быстро сходятся при q-^oo. Чтобы выделить основную зависимость от q, перепишем первый член (23.2) в виде

где F2(q) описывает вклад второго порядка в корреляционную энергию системы.

Если выделить вклады от двух первых членов в правой части (23.4) при малых q, то эти выражения при q-+оо малы,

256

так как их разность имеет порядок q~2. Поскольку при малых г, основной вклад в интеграл дает область малых q, то верхний предел в первом из интегралов выражения (23.4) можно заме­ нить на произвольное число, много большее rs. Этот предел положим равным единице. По этой же причине можно аппрокси­ мировать разность F—Fz в этом интеграле разностью значений, взятых в пределе малых q. Тогда

Выражение для F(q) при <7—»-0 можно получить, найдя пре­ дельные формулы при <7—>-0 для функции Qq{u). Из выражения

Тогда выражение для корреляционной энергии вместо (23.3)

где через 6 обозначены два последних члена в формуле (23.5). Интеграл в выражении (23.7) теперь легко вычислить. Сделаем

6= 0,0508 было оценено методом Пайнса. (Вычислялась корре­ ляционная энергия во втором порядке теории возмущений. При этом расходимость ликвидировалась путем ограничения q вели­ чиной k0, которая считалась пропорциональной г 'J2.) Оконча­ тельно получим следующий результат для корреляционной энергии электронного газа:

Следовательно, в приближении Гелл-Мана и Бракнера энергия основного состояния электронного газа (на один электрон) имеет вид

Л

Это выражение записано с точностью до отброшенных членов порядка rs и членов более высоких порядков по г.,.

Отметим, что отрицательный знак корреляционной энергии ясен из физических соображений. Действительно, корреляции, обусловленные зарядовым взаимодействием, из-за отталкивания электронов препятствуют их сближению. Это приводит к допол­ нительному уменьшению энергии системы. Появление логариф­ мического члена в разложении энергии кулоновской системы по плотности непосредственно связано с далы-юдействующим ха­ рактером кулоновских сил.

Выражение (23.10)'справедливо при гя<сН, что соответствует случаю слабой связи. Действительно, при этом кинетическая энергия в расчете на одну частицу превышает энергию взаимо­ действия. В этом смысле рассматриваемую систему электронов можно с полным правом называть электронным газом. Разре­ женный электронный газ, рассмотренный в предыдущем пара­ графе, представляет собой, наоборот, систему с сильной связью, которую лишь условно можно называть электронным газом. Между двумя указанными предельными случаями имеется боль­ шая область промежуточной связи. Именно к этой области от­ носятся плотности электронов в реальных металлах. Кинетиче­ ская и потенциальная энергии электронов оказываются здесь одного порядка, так что ни отношение потенциальной энергии к кинетической, ни обратное отношение не могут служить пара­ метрами разложения.

В этой области более справедливо, по-видимому, говорить об электронной жидкости, нежели об электронном газе. Пред­ ставление об области значений гл, где поведение электронов носит «жидкостной» характер, можно получить, сравнивая нуле­

258