Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

поетям электронов проводимости в металлах, скорее всего сле­ дует считать электронной жидкостью.

Теплоемкость. Теплоемкость электронного газа при очень низкой температуре определяется плотностью уровней на по­ верхности Ферми, подсчитанной для невозбужденной системы. Ее значения при достаточно низких температурах (pej?)-1<^l обусловлены чрезвычайно малой плотностью возбужденных уровней по сравнению с плотностью невозбужденных состояний.

Если в качестве невозбужденного состояния рассмотреть заполненную сферу Ферми, то слабое возбуждение системы мож­

а также числом занятых состояний вне сферы Ферми с импуль­ сами к;. Ограничимся рассмотрением таких состояний газа, когда число возбужденных пар мало по сравнению с числом электронов N. При низких температурах только такие возбуж­ денные состояния существенны. Поскольку число возбужденных состояний мало, можно пренебречь их взаимодействием, т. е.

Последним членом в силу сказанного выше можно прене­ бречь. Тогда теплоемкость С на электрон при постоянном объеме системы пропорциональна плотности одночастичных со­

Тогда для теплоемкости свободного электронного газа получим известное выражение (см. § 20), которое удобно переписать в виде:

где Й — постоянная Больцмана; а= (4/9 я )1/2.

Теплоемкость электронного газа со слабым взаимодействием (г.,< 1) можно вычислить по формуле

С (Г, rs) - т ~ 'h2e~* k2T -2 [(dW(p)/dp)p=PF] - \ (23.14)

«ели удастся оценить величину, стоящую в квадратных скобках. Для этого нужно исследовать изменение каждого члена ряда Гелл-Мана и Бракнера для энергии основного состояния в связи

9* 259

с указанным выше возбуждением системы. Нужно изменить каждый член теории возмущений для энергии основного состоя­ ния так, чтобы число занятых состояний в сфере Ферми умень­ шилось на единицу, а число незанятых соответственно возросло. К чему это приводит формально, можно продемонстрировать на примере вычисления W (2a), которое получается из соответствую­ щего выражения для Е (2аК Выражение (21.30) можно переписать

Рх< Рр

Умножив это выражение на число электронов N, получим вклад в полную энергию основного состояния системы. Можно за­ писать N = 2V(2n)~3-4n/3, где V — объем системы в единицах U3p j 3. При этом множитель 2 учитывает две возможных ориен­

тации спина. Заменим интеграл по pi суммой

тогда

рон с импульсом р и спином «вниз». Тогда соответствующее одночастичное состояние в сфере Ферми станет свободным, а из суммы в выражении (23.16) выпадет один член. С другой сто­ роны, к указанной сумме необходимо добавить один член, соот­ ветствующий появлению одночастичного состояния с импульсом p = P! + q вне сферы Ферми.

Эту же процедуру необходимо повторить с заменой инте­

р^<рр

I p2+ q I > pf

260

где множитель 2 есть произведение трех коэффициентов: 2 учи­

Гелл-Ман вычислил Wi для каждого из основных вкладов в энергию в теории Гелл-Мана и Бракнера. Вклад от обменной части энергии основного состояния вычисляется просто. Дейст­ вительно,

1

Wi

Это выражение логарифмически расходится при малых значе­ ниях q.

Анализ Гелл-Мана для членов высшего порядка, соответст­

Интеграл легко вычислить при малых га. В результате имеем

ношение теплоемкостей электронных газов Бракнера и Зоммерфельда:

261

Это выражение справедливо при достаточно высоких плотностях электронного газа, когда параметр rs< I . Добавка к единице в квадратных скобках характеризует поправку на взаимодейст­ вие в вырожденной электронной системе в приближении сла­ бой связи.

Парамагнитная восприимчивость. Для вычисления спиновой поляризуемости электронного газа используем формулы (20.16). Изменение кинетической и обменной энергии просто выражается через поляризационный параметр Р (см. § 20):

Обменная часть корреляционной энергии (в расчете на одну частицу), если пренебречь членами порядка га и более высоких порядков, £ обм.корр= 0,046 не зависит от плотности электронов и поэтому не меняется при поляризации спинов (в рассматри­ ваемом приближении). Таким образом, только необменная часть корреляционной энергии определяет поправки к спиновой вос­ приимчивости системы.

Необходимо ввести явную зависимость ферми-импульса от спина. Для этого функцию Q,,(u) в формуле (23.3) следует за­ менить полусуммой

Y \Ql (и) + Q i («)],

где

оо

•exp (iqtu).

Ik+qI >k *

(23.23)

В этом выражении k ^ — ферми-импульс электронов со спинами,

направленными «вверх». Он измерен в единицах невозмущен­ ного ферми-импульса, т. е. k ^ = ( \ + P ) 1/3. Формула для QJ (и)

записывается аналогично.

262