Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

возбуждение конечного числа пар в бесконечной системе, прак­ тически не отличается от исходного состояния в приближении Хартри — Фока. Действительно, если вероятность возбуждения пары из состояния, описываемого некоторой приближенной вол­ новой функцией, есть а, то вероятность того, что ни одна из пар не возбуждена, определяется выражением (1— a)N, Это выра­ жение ведет себя при больших N как ехр(—aN), т. е. оказы­ вается весьма малой величиной, даже если а мало. По этой

если поправка по взаимодействию в каждом порядке пропор­ циональна числу частиц (или, что то же самое, объему си­ стемы V). Это следует из того факта, что энергия системы является экстенсивной величиной. Оказывается, однако, что теория возмущений в «классическом» своем виде приводит к не­ правильной зависимости энергии системы от объема.

§ 22. ЭЛЕКТРОННЫЙ КРИСТАЛЛ ВИГНЕРА

При достаточно низких плотностях электронного газа энер­ гия основного состояния может быть вычислена с заданной точ­ ностью, ибо такая задача содержит малый параметр. Энергию основного состояния разреженного электронного газа можно

представить в виде разложения по степеням r j 2, где безразмер­ ный параметр rs — r0/a0 характеризует плотность электронов. При достаточно низких плотностях электроны в присутствии равномерно распределенного фона положительных зарядов должны располагаться упорядоченным образом, образуя так называемый э л е к т р о н н ы й к р и с т а л л .

Этот электронный кристалл может быть устойчивым, по­ скольку потенциальная энергия взаимодействия электронов, способствующая образованию упорядоченной структуры, пропор­

гк кинетическая энергия не может противодействовать локали­ зации электронов в определенных местах. Это — кулоновская система частиц с сильным взаимодействием. Критерий устойчи­ вости электронного кристалла, конечно, не определяется лишь соотношением между потенциальной и кинетической энергией, приходящейся на одну частицу. Для установления этого крите­ рия необходимо рассмотреть амплитуду колебаний электронов около положений их равновесия. Как мы покажем ниже, ампли­ туда колебаний, соответствующих фононам в электронном кри­

сталле, пропорциональна гГ3/2 При достаточно низких плотно­ стях эта величина также мала.

245

Грубо оценим энергию связи электронного кристалла [15]. Воспользуемся при этом приближением Вигнера—Зейтца, кото­ рое состоит в замене реальной ячейки, окружающей каждый электрон, надлежащим образом выбранной эквивалентной сфе­ рой. Погрешность этой аппроксимации мала. Предположим да­ лее, что различные ячейки не взаимодействуют друг с другом. Это предположение эквивалентно модели Эйнштейна при вычис­ лении частоты фононов в твердом теле. Считая теперь распреде­ ление заряда ионов однородным, вычислим потенциал, созда­ ваемый равномерно распределенным внутри сферы положитель­ ным зарядом в точке г, отсчитанной от центра сферы:

При этом использована простая запись плотности электронов п через среднее межчастичное расстояние г0:

(4л/3) г\п = 1.

Следовательно, потенциальная энергия электрона, находящегося на расстоянии г от центра сферы

Легко видеть, что это выражение представляет собой потен­ циальную энергию гармонического осциллятора, устойчивого при малых значениях р2/2т. Гамильтониан этого осциллятора

где о)р= (4лле2/ т )1/2— ленгмюровская частота, или частота плазменных колебаний в электронном газе.

Учитывая, что имеются три направления колебаний, можно

246

Сравним эту величину с энергией взаимодействия, вычис­ ленной в приближении Хартри—Фока, когда электроны не лока­ лизованы в определенных местах, а, наоборот, равномерно рас­ пределены по всей сфере. Тогда для потенциальной энергии электрона в поле всех остальных получим

Множитель "1 /2 перед интегралом вводится для того, чтобы не учитывать каждый электрон дважды.

Следовательно, потенциальная энергия системы равна (l,2/rs)Ry на электрон. Энергия взаимодействия электронов с равномерно распределенным положительным зарядом отрица­ тельна и численно равна удвоенной потенциальной энергии, т. е.

— (2,4/r.,)Ry. Наконец, как это было показано в § 21, обменная энергия, приходящаяся на один электрон, примерно равна

— (0,92/rs)Ry. Складывая эти выражения, находим полную энер­ гию взаимодействия на электрон в приближении Хартри — Фока

Е Х-Ф = — (2,12/0 Ry-

Сравним эту величину с главным членом в энергии основ­ ного состояния, вычисленной только что в рамках модели элек­ тронного газа низкой плотности

Е = — (3/0 Rv.

По определению, корреляционная энергия есть разность между энергией основного состояния системы и этой величиной, вычис­ ленной в приближении Хартри—Фока. Поэтому с точностью до членов порядка г ~3/2

Приведенное вычисление является, конечно, грубым. Отме­ тим, прежде всего, что модель Эйнштейна, использованная для определения «фононных» частот электронного кристалла, даже излишне груба. Задача, содержащая малый параметр r j l/2,

может быть решена аккуратно. Такое вычисление, выполненное Карром [11], привело к следующему результату для энергии основного состояния электронного газа

Первый член в правой части описывает потенциальную энергию электронов, локализованных в определенных местах, второй —

247

энергию нулевых колебаний электронов около их положений равновесия, третий и последующие члены разложения возни­ кают вследствие ангармоничности колебаний электронной ре­ шетки. Имеются также члены, пропорциональные ехр(—сг ]/2),

обусловленные наличием обменных эффектов. Постоянные а

иЬ— порядка единицы.

Сповышением плотности электронного газа его кристалли­ ческая структура должна пропадать. При определенных значе­ ниях rs должен осуществляться, по-видимому, фазовый переход электронного кристалла в электронную жидкость. Устойчивость электронного кристалла можно исследовать с помощью извест­ ного критерия плавления Линдемана [7]. Согласно этому крите­ рию, кристалл начинает плавиться, когда средняя’ амплитуда колебаний <SR2> достигает определенной критической доли среднего межатомного расстояния Д0:

<6R2>/7?o = Ут-

Постоянная ут несколько меняется от одного кристалла к дру­ гому, но приблизительно равна 1/16 для большинства простых типов решеток.

Для электронного кристалла при Г= 0 величина < 6R2> целиком определяется нулевыми колебаниями электронов. Пред­ положим, что при разрушении кристалла существенны лишь продольные фононы с частотой сор. Это предположение может только занизить величину < 6R2> . Обобщение критерия Линде­ мана на случай электронного кристалла позволяет написать следующее соотношение [9]:

(22.8)

Отсюда следует, что электронный кристалл теряет устойчивость («плавится») при гк—20.

В конце 30-х годов Вигнер [15] предложил подход к вычис­ лению корреляционной энергии достаточно плотного электрон­ ного газа для rs<Cl. Он записал волновую функцию системы в виде произведения двух детерминантов, составленных из одно­ частичных волновых функций со спинами соответственно «вверх» и «вниз»:

Ф+ | • | Ф

Корреляции, обусловленные кулоновским взаимодействием между электронами с антипараллельными спинами, были явно учтены с помощью предположения, что одночастичные волновые функции электронов со спинами «вверх» зависят от координат всех электронов со спинами «вниз»:

248

Фи (й ) Ф« Ы ■ ■ -Фп(Уп)

С помощью этой волновой функции вычислялось среднее значе­ ние энергии Е и определялись параметры уг путем минимиза­ ции Е. Функции tyj{x, у) вычислялись при этом во втором по­ рядке теории возмущений. Результат оказался весьма громозд­ ким. Численный расчет показал, что при rs= l корреляционная энергия на электрон равна

думать, что результат при rs—\ имеет смысл, так как £ КОрр оказывается действительно малой по сравнению как с кинети­ ческой, так и с обменной энергией. Напомним, что реальные концентрации электронов проводимости в металлах соответст­ вуют области параметров l,8=^rs=^5,5. Чтобы получить разум­ ное значение корреляционной энергии в этой области плот­ ностей электронного газа, Вигнер построил интерполяционную формулу, используя результат (22.6) для электронного газа

Улучшение, которое дает расчет Вигнера по сравнению с вычислением в приближении Хартри—Фока, продемонстриро­

249