Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

реляционной энергии, связанная с взаимодействием электронов

сантипараллельными спинами, как бы теряется.

Вмодели Вигнера плотность электронов настолько мала, что амплитуда нулевых колебаний электронной решетки значи­ тельно меньше ее периода. В работе Карра [11] исследовался спектр колебаний такой решетки. Было найдено, что в пределе

больших длин волн спектр колебаний содержит две поперечных

то в случае достаточно низких температур термодинамика вигнеровского кристалла может быть подсчитана как термодина­ мика системы, состоящей из 3N независимых осцилляторов, каждый из которых соответствует нормальному колебанию.

где суммирование проводится по всем 3.V нормальным колеба­ ниям, которые нумеруются индексом а. Член Л/ео представляет собой энергию взаимодействия всех электронов кристалла в по­

метра г.,), от температуры же при заданном объеме ео не за­ висит.

При малых температурах в сумме по а играют роль лишь члены с малыми частотами: h(oa ~ р -1. Эти колебания и пред­ ставляют собой звуковые волны. Длинноволновые колебания можно рассматривать квазиклассически. Тогда число собствен­

250

Вследствие быстрой сходимости интеграла при больших ;3 интегрировать можно в пределах от 0 до оо. Второй член этого выражения отличается от формулы для свободной энергии чер­ ного излучения лишь заменой скорости света с на скорость электронного звука се. Такая аналогия вполне естественна, по­ скольку частота колебаний подчинена тоже линейному закону дисперсии, как и для фотонов, а число поляризаций (число Еетвей поперечных колебаний) в обоих случаях одинаково. Входящий в формулу (22.13) интеграл вычислен в любом учеб­ нике по статистической механике (см., например, [6]). В ре­ зультате

45(йсе)зр4

Следовательно, энтропия определяется выражением

Таким образом, как и в случае обычных кристаллов, при до­ статочно низких температурах теплоемкость кристалла Вигнера должна быть пропорциональна Т3. Однако оказывается, что полная теплоемкость вигнеровского кристалла не определяется на самом деле выражением (22.14); оно является при низких температурах лишь добавкой к основному члену, который и определим сейчас.

В работе Карра [11] спектр колебаний найден без учета поперечных электромагнитных полей, возникающих при этих колебаниях. Учет полей существенно меняет спектр в области малых частот. Чтобы доказать это, можно записать уравнения для смещения электрона из положения равновесия | совместно с уравнением Максвелла для электрического поля Е. В области малых частот эти уравнения можно записать в гидродинамиче­ ском приближении [4]:

где с — скорость света; п — плотность электронов. Отсюда на­ ходим для плоской волны ехр(— 'unt + ikx) дисперсионные соот­ ношения для частот колебаний

где ыр — плазменная частота (со 2 =4лпе2/ т ) .

251

Учитывая, что с^>се, можно найти две ветви дисперсионного уравнения (22.16):

ю2 = с2с ^ 4/со2 + /г2с2. I

При /г<Сюр/с спектр существенно отличается от звукового. Первая ветвь соответствует распространению поперечных све­ товых волн с частотой, большей плазменной. Вторая же ветвь при малых k описывает низкочастотные колебания, энергия которых заключается в основном в упругой энергии в магнит­ ном поле. Только при k^sxup/c эти колебания сводятся к зву­ ковым.

Изменения закона дисперсии колебаний при малых к не­ избежно должны привести к изменению термодинамики элек­ тронного кристалла Вигнера. Подсчитаем ту часть свободной энергии AF, которая обусловлена колебаниями с законом дис­ персии a = ccek2/(i)p [5]. Для этого определим число «нормальных колебаний»

Сделаем замену переменной х=Йсо|3, тогда

где Г(х) и 5(х)— соответственно гамма-функция и функция Римана. При х=5/2

Г(5/2) = (3/4) К я, 5(5/2) ~ 1,341.

252

неровского кристалла, обусловленная рассмотренным механиз­ мом возбуждений, при достаточно низких температурах про­ порциональна T3/z и превышает вклад в теплоемкость, опреде­ ляемый формулой (22.14).

Интересным фактом, вытекающим из дисперсионных соот­ ношений (22.17), является то, что кристалл Вигнера оказывается прозрачным для электромагнитных волн низкой частоты оз<о)р, поскольку можно показать, что в этой области частот диэлек­ трическая постоянная е>0 [4].

§ 23. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ВЫСОКОЙ ПЛОТНОСТИ. МЕТОД ГЕЛЛ-МАНА И БРАКНЕРА

Существенным шагом вперед в изучении системы взаимо­ действующих электронов явилась теория Гелл-Мана и Бракнера [3, 12]. Эта теория приводит к выражению для энергии основ­ ного состояния плотного электронного газа в виде ряда по ма­ лому параметру rs = [(4/3)ttaon]“1/:1, характеризующему среднее

расстояние между электронами, измеренное в единицах воров­ ского радиуса о0Параметр г$ мал при достаточно высокой плотности электронного газа, значительно превышающей реаль­ ную плотность электронов проводимости в металле. Поскольку параметр rs= r0(mc/h) (e2/h с), т. е. пропорционален е2, то раз­ ложение энергии системы по этому параметру представляет ряд теории возмущений по взаимодействию. Однако, как пока­ зано в § 21, уже во втором порядке теории возмущений по е2 возникает логарифмическая расходимость. Еще более сильная расходимость имеет место в следующих порядках теории воз­ мущений. Заслуга Гелл-Мана и Бракнера состоит в том, что им удалось просуммировать бесконечное число наиболее сущест­ венных членов ряда теории возмущений. Это выборочное сумми­ рование привело к конечному результату.

Проследим общую структуру ряда теории возмущений. Во втором порядке вклад в энергию системы дают прямые и об­ менные процессы виртуального возбуждения пар электрон — дырка. Расходимость в члене, соответствующем прямому про-

253