Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

совпадает с частицей и существует простая линейная связьмежду энергией данного состояния и соответствующей функ­ цией распределения. При взаимодействии частиц связь между энергией состояния Е и функцией распределения квазичастиц. пр становится существенно более сложной. Не можно записать как функционал E[nv], который в общем виде найти не удается. Однако, если функция п р достаточно близка к функции основ­

ного состояния Яр , этот функционал можно разложить в ряд Тейлора. Это же справедливо, конечно, и для свободной энер­ гии F. С точностью до третьего порядка по 8п р это разложе­ ние можно представить в виде

рии ферми-жидкости Ландау. Первая функциональная произ­ водная представляет собой энергию квазичастиц. Квадратич­ ный член в правой части равенства (25.2) описывает взаимо­ действие между квазичастицами, а сама правая часть представ­ ляет собой основные члены разложения F—Н0 по степеням от­ носительного числа возбужденных квазичастиц, которое можно записать в виде

a = ( l,W ) V p | блр |.

Так как каждое суммирование по импульсам вносит множи­ тель V (объем системы), то функция f p, р- имеет порядок У-1. Это легко понять, если учесть, что функция / Р, р- представляет собой энергию взаимодействия квазичастиц с импульсами р и р'.

Предположим, что f Р, Р- непрерывна при р и р', близких к pF. Поскольку значение этой функции нужно знать на фермиповерхности в точках, где е р = е Р' =р., то / Р, Р' зависит лишь от направления векторов р и р' и от спинов о и о'. В отсутствие магнитного поля система инвариантна относительно обращения времени, так что

' р. о; р' , а, = / , р, —а; —р , —а (25.3)

273

соответствующие параллельной и антипараллельной ориентации спинов. Удобно записать их в виде

где /р, р- и /р, р' —-симметричная и антисимметричная по спи­ нам части энергии взаимодействия квазичастиц. Можно считать, что антисимметричный член f° , обусловлен некоторой энер­

гией обменного взаимодействия 2/ р, р- , которая появляется в случае параллельных спинов.

Если система изотропна, то соотношения (25.5) можно еще упростить. В этом случае для р и р', лежащих на ферми-поверх-

При этом функция f полностью определяется набором коэффи­ циентов /) и Последние удобно выражать в приведенных

.величинах, полагая

об энергии взаимодействия по сравнению с кинетической энергией.

По поводу последнего выражения необходимо сделать не­

масса отличается от принятой ранее для описания движения

ферми-поверхности. В этом случае понятие эффективной массы становится несколько искусственным. Тогда удобно ввести плот­

•274

При низких температурах все физические свойства системы зависят от плотности состояний на ферми-поверхности. Именно эта величина и записана в левой части равенства (25.7).

Рассмотрим теперь некоторые равновесные свойства фермижидкости. Одно из достоинств теории Ландау состоит в том,, что с помощью этой теории легко понять, на каких макроско­ пических свойствах системы взаимодействие элементарных воз­ буждений, или квазичастиц, сказывается сильно, а на каких — нет. Рассмотрим, например, теплоемкость жидкости в низко­ температурном пределе. При вычислении

Cv = (dE/dT)N

можно воспользоваться выражением для энергии, которая представляет собой функционал Е{пр]. Однако при достаточна низкой температуре удобнее исходить из выражения для сво­ бодной энергии (25.2) и вычислять теплоемкость по формуле

гр — локальная энергия квазичастицы, которая определяется как свободная энергия квазичастицы, добавленной к равновесной системе:

р

что непосредственно следует из формулы (25.2). Нетрудно ви­ деть, что интеграл / бпр p2dp имеет порядок (3~2. Поскольку теп­ ловое движение возбуждает квазичастицы в области р-1 от ферми-поверхности, доля возбужденных квазичастиц составляет 1/|Зр. Эта величина и является параметром разложения в выра­ жении (25.2). Пренебрегая членами порядка бп3, допускаем погрешность в энергии порядка (Рр.)-3. Вследствие этой неопре­ деленности бессмысленно точно вычислять температурную за­ висимость любой другой величины, встречающейся в теории. Необходимо оставлять лишь главные члены по р-1, ибо непра­ вильно рассматривать поправки порядка тех членов, которыми пренебрегаем. Квадратичный по Ьп член в правой части выра­ жения (25.2) имеет порядок р~4, т. е. пренебрежимо мал по сравнению с главным членом, имеющим порядок р~2. Следова­ тельно, «тепловая» свободная энергия К(р)—F0 описывается

275

выражением того же типа, что и для идеальной системы. Тогда прямое вычисление дает

где плотность состояний v(0) определяется выражением (25.8),

адля изотропной системы имеет вид

v(0) — Vm*pF/(nihii).

Согласно выражениям (25.9) и (25.13), приходим к уже хорошо знакомому выражению для теплоемкости, линейно зависящей от температуры:

При достаточно низких температурах можно определить эффек­ тивную массу по наклону экспериментальной прямой CV(T).

Приведенные рассуждения на основе феноменологической теории позволяют сделать важный вывод о том, что теплоем­ кость нормальной жидкости не зависит (с указанной выше точ­ ностью) от взаимодействия квазичастиц.

После этого краткого введения в теорию ферми-жидкости Ландау постараемся понять, каким образом в рамках феномено­ логической теории может быть учтено кулоновское взаимо­ действие электронов. Применяя процедуру адиабатического включения, можно и здесь установить соответствие между собственными состояниями реальной и идеальной систем. Так, для нормального металла основное состояние получается адиа­

системы невзаимодействующих частиц. Как и в случае нормаль­

медленно включая взаимодействие. Так как полный импульс сохраняется и при наличии взаимодействия, получившаяся квазичастица имеет те же квантовые числа, что и исходная блоховская волна, а именно импульс р, лежащий в первой зоне Бриллюэна, и индекс зоны п. Поэтому квазичастица имеет те же характеристики, что и блоховская волна, т. е. можно опре­ делить ферми-поверхность и т. д.

В отсутствие взаимодействия волна Блоха обладает энер­ гией е° р, которая зависит от р довольно сложным образом.

Всюду на ферми-поверхности можно определить скорость = у-р е“ р- Из-за наличия ионного периодического потенциала отлична от скорости свободной частицы Up/m. Пусть теперь взаимодействие включено. Квазичастицы имеют энергию е п . р ,

276

равную первой вариационной производной от энергии системы. Энергия еп,р постоянна на ферми-поверхности и равна хими­ ческому потенциалу ц. В каждой точке S? можно снова опреде­ лить скорость ир Ф%р/т. Отличие v p от hp/m обусловлено двумя причинами: а) влиянием периодической решетки на каж­ дый электрон и б) многочастичными эффектами, возникающими вследствие кулоновского взаимодействия.

В случае почти изотропной ферми-поверхности (к этому близки щелочные металлы) можно написать v PF =h рр/т*, где

эффективная масса т* учитывает влияние как периодического поля, так и взаимодействие электронов. Обычно эти два эффекта так тесно связаны, что разделить их невозможно.

Как и в случае ферми-жидкости, рассмотрение второй ва­

квазичастиц в металлах сильно усложняется.

Другая сложность, возникающая при рассмотрении электро­ нов в металлах, связана с большим радиусом кулоновского взаимодействия. Оказывается, что подход, аналогичный теории

.Ландау, имеет смысл, если считать, что / Р,Р- соответствует экра­ нированному взаимодействию квазичастиц [9]. При рассмотре­ нии поведения электронов в металлах следует учитывать также электрон-фононное взаимодействие, т. е. взаимодействие элек­ тронов с колебаниями решетки. Вклад этого взаимодействия в макроскопические характеристики различен. Так, электронфононное взаимодействие практически не влияет на спиновую восприимчивость и сжимаемость, но при вычислении теплоемко­ сти его следует учитывать.

В феноменологической теории электронной жидкости также существуют трудности, обусловленные дальнодействием куло­

логично возникновению расходимости при вычислении группо­ вой скорости частицы на ферми-поверхности в приближении Хартри—Фока). Только в случае устранения подобных расхо­ димостей можно получить аналог теории Ландау для заряжен­ ной ферми-жидкости [2, 9].

В заключение отметим, что основные положения теории Ландау остаются справедливыми не только при описании свойств электронной жидкости, но и при наличии периодического потен­

277