Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Г л а в а д е с я т а я

ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ И ЭЛЕКТРОННАЯ ЖИДКОСТЬ

немногим исключением) в рамках теории возмущенний по кон­ станте взаимодействия. В системе многих тел с дальнодействующими силами удается выйти за рамки теории возмущений путем выделения и суммирования бесконечного числа фейнмановских диаграмм, которые являются наиболее существенными в рассматриваемой задаче. При этом, однако, решение в явном виде удается получить, когда задача содержит малый параметр. Характерными примерами систем с малым параметром яв­ ляются уже рассмотренные системы кулоновских частиц: де­ баевская плазма и бракнеровский электронный газ, для кото­ рых можно получить корректное выражение для энергии в виде разложения по малым параметрам, характеризующим слабое взаимодействие частиц в системе. И в том, и в другом случае использовалась малость амплитуды рассеяния но сравнению со средним расстоянием между частицами. Как правило, практи­ ческий интерес представляют задачи, в которых безразмерный характерный параметр отнюдь не мал. Например, для системы кулоновских частиц при конечной температуре наиболее инте­ ресна область термодинамических величин, где кулоновская энергия на среднем расстоянии между частицами сравнима с температурой, когда дебаевский параметр порядка единицы. Трудности, возникающие при решении этой задачи, являются основным препятствием к получению уравнения состояния плазмы при значительных давлениях и умеренных температу­ рах. Проблема вычисления энергии основного состояния ма­ кроскопической системы при Г= 0 также не решена в наибо­ лее интересной области, где отсутствует малый параметр за­ дачи.

Так, в теории металлов необходимо знание корреляционной энергии электронной жидкости для вычисления энергии связи, которая непосредственно может проверяться экспериментально.

Даже в случае простых металлов плотность электронов про­ водимости такова, что опять имеем задачу без малого парамет-

279

ра. Можно привести еще много примеров, в частности пробле­ му магнетизма, где задачи без малого параметра ждут -своего решения. Имеющиеся работы в этом направлении связаны либо с довольно грубыми модельными представлениями, либо с произвольной интерполяцией результатов, полученных в пре­ дельных случаях. Как правило, такая интерполяция бездоказа­ тельна.

В качестве примера можно привести упоминавшуюся в пре­ дыдущей главе работу Вигнера, предложившего довольно произ­

Внастоящей главе рассмотрим попытку оценки энергии си­ стемы многих частиц, когда задача не содержит малого пара­ метра. Сравнительно недавно Лёвдин предложил метод систе­ матических оценок энергетических уровней сверху и снизу, правда, не для макроскопически больших систем [3]. Им же была продемонстрирована эффективность этого метода в теории атомов и молекул. Так, для атома гелия метод приводит к оценке энергии основного состояния сверху и снизу со спектро­ скопической точностью. Прямое распространение этого метода па системы многих частиц (макроскопически большие систе­ мы), как показано ниже, невозможно. Однако сама идея стро­ гих оценок физических величин сверху и снизу, по-видимому, плодотворна.

Внастоящее время не существует даже последовательных вариационных оценок сверху для макроскопически больших си­ стем. Поэтому весьма актуальна разработка метода оценки ма­ кроскопических величин с заданной точностью в проблеме мно­ гих тел без малого параметра.

Внастоящей главе мы попытаемся предложить достаточно общий подход к решению такой задачи и проиллюстрируем этот

подход на примере вычисления энергии основного состояния си­ стемы электронов, которую можно рассматривать как на фоне компенсирующего положительного заряда, так и в периодиче­ ском внешнем поле. При этом не будем делать ограничений на плотность системы. Электронную жидкость по-прежнему будем считать нормальной. Электрон-фононное взаимодействие при этом не будем рассматривать, так что эффекты, связанные с парными корреляциями в проблеме сверхпроводимости, не бу­ дем затрагивать.

Предлагаемый подход может быть использован в широком классе задач без малого параметра в проблеме многих тел. Это касается задач как с дальнодействующим, так и с короткодей­ ствующим взаимодействием. Предлагаемый подход допускает обобщение на конечные температуры, что особенно интересно при исследовании фазовых переходов, а также уравнения со­ стояния плотной плазмы.

280

§27. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК ДЛЯ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

ВЗАДАЧАХ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ. ТРУДНОСТИ ОБОБЩЕНИЯ НА СЛУЧАЙ N->-oo

Верхние оценки для энергии основного состояния атома или молекулы получают обычно вариационными методами. Удобен и хорошо известен вариационный метод Релея — Ритца. Пусть Ео, Еи Е2, ... — собственные значения стационарного уравнения Шредингера

дает верхнюю границу для Еа в случае произвольных волновых функций Ф. Эта же величина является верхней границей для Еи если ортогональны (Л и Ч'о и т. д. Для наших целей, однако,

удобнее ввести несколько другой математический язык.

/Ч

оператор О проектирует гильбертово пространство данной си-

281