Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Действительно, согласно вариационному принципу

fli — < ui I А | U l> ^ < u, | A | « ! > —

= < « i 1 О х Л О | u x > = < « ! | Л - 1 ых > = аг.

При этом использованы соотношения (27.6). Рассмотрим вспо­ могательную функцию ф= гг 1р1+ Й2Р2, удовлетворяющую усло­ виям

что и доказывает сделанное выше утверждение.

282

всех возможных ср. Тогда верно и неравенство для собствен­

то

А ',г = 2k а,‘к,г | ик> < и к |.

Неравенства (27.8) вытекают из положительной определенно-

-— ч

сти проекционного оператора О. Действительно,

< Ф | О | ф > = < 0 | О2 | ф > = < ф | 0+0 | ф > = < 0 ф | 0 ф > > 0.

Аналогичное рассмотрение матричных элементов от опера-

что и доказывает утверждение (27.8).

Это свойство внутренней проекции оператора находит при­ менение в методе промежуточных гамильтонианов. Если

приводит к соответствующему расположению собственных зна­ чений:

что обеспечивает систему нижних оценок, сходящихся к точно­ му значению Eh. Соответственно при построении внешних про­

283

екций для гамильтониана Н получаем верхние оценки для энер­

гии Eh.

Если представить гамильтониан системы в виде

н = н 0 + и,

где U> 0 (положительно определенный оператор взаимодейст­ вия), то в качестве промежуточных гамильтонианов можно вы­ брать операторы вида

энергетических уровней гелиеподобных ионов. При этом вычис­

дит к значению энергии, отличающемуся от точного менее чем

—7,279910 ат. ед. для нижней оценки полной энергии. Можно, по-видимому, утверждать, что в случае систем с конечным (не­ большим) числом частиц метод построения внешних и внут­

Этот оператор проектирует гильбертово пространство векторов состояний системы на подпространство Ш1, натянутое на базис­ ные векторы {|фг>}) причем <фг |фк> = 6г,„. Система функций {|ф,->}, вообще говоря, неполна. Добавляя к ней новые конфи­ гурации |фк> , будем получать все более полные системы. Та­ ким путем и получается последовательность проекционных

операторов 0 <">, которая стремится к единичному оператору, когда система приближается к полной.

284

Удобно говорить о полноте системы {I Фг>} по отношению к некоторому вектору состояний |Ч/ > (это может быть, напри-

мер, основное состояние, описываемое гамильтонианом Н). Тогда степень полноты системы по отношению к |ЧТ> можно характеризовать параметром

видно, что собственное значение промежуточного гамильтониа­

Мы не умеем точно вычислять параметр у эд.

Простая порядковая оценка показывает трудности, возни­ кающие при попытке использовать метод внешней и внутренней

проекций (Я и Н) в случае систем с большим числом частиц Nv

N -*■ оо, У^ - оо , п = N/V = const.

Чтобы уравнение Шредингера с промежуточным гамильтониа­

ном Жп) можно было решить точно,- собственные функции это­ го гамильтониана должны иметь достаточно простую структу­ ру. Это может быть суперпозиция некоторого исходного одиочастичного состояния (например, волновой функции в прибли­ жении Хартри — Фока) и состояний, отличающихся от исходно­ го возбуждением нескольких пар частиц. Примером такой про­ стой функции может служить функция вида

q , Р . р2

Волновая функция |ЧГ> записана здесь в импульсном пред­ ставлении; |Оп> — волновая функция системы в приближении

ные возбужденные состояния над системой одночастичных со­ стояний, описываемых волновой функцией |Оп> .

285

Чрезвычайно важно, что скалярное произведение < 0 11|Чго> в случае макроскопически, больших систем оказывается экспо­

Поэтому введенный выше параметр у®г близок к единице. Ины­

ми словами, подпространство (27.15) практически пусто. Это легко попять, если учесть, что функция (27.14) соответствует возбуждению всего лишь двух пар па всю бесконечную систе­ му. Поэтому функции типа (27.14) не имеют ничего общего с истинной функцией основного состояния для достаточно про­ тяженной системы.

По этой причине среднее значение гамильтониана системы по состоянию (27.14) в пределе N—^oo равно энергии Хартри — Фока и не зависит от конкретного вида cDq (рь Рг). Эта функция

•определяет лишь вклад в < lF |# |xF > , не зависящий от числа

•частиц N. Нас же интересуют аддитивные свойства системы.

§ 28. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ПОЛЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ЯЧЕИСТОГО БАЗИСА

Обсудим построение верхних и нижних оценок для энергии системы на примере электронного газа. Эта конкретная задача не умаляет общности рассуждений для системы многих частиц с положительно определенным оператором взаимодействия.

Рассмотрим метод построения систематических оценок свер­ ху и снизу для энергии основного состояния электронного газа в периодическом внешнем поле. Гамильтониан такой системы

тде Mi — масса; pi — импульс i-й частицы; U(г,)— потенциаль­

2 8 6