венство соответствует условию минимума свободной энергии кай функции числа частиц (наряду с dFjd£, = 0) и является усло вием химического (ионизационного) равновесия в системе. По этому, хотя и выполняются условия устойчивости к механиче ским возмущениям, химическое равновесие неустойчиво и флук туации состава плазмы будут выводить систему из состояния равновесия.
По-видимому, одновременной устойчивости химического и механического равновесий в плотной плазме можно достигнуть, если плотная классическая плазма образована из легко иони зующейся компоненты (пар щелочного металла), «растворен ной» в трудно ионизуемом веществе, таком, как инертный газ. При достаточно высоких температурах щелочной металл будет полностью ионизован и может быть выполнено условие химиче ской устойчивости (31.16), где па— плотность атомов щелочного металла.
С другой стороны, устойчивость к механическим возмуще
ниям |
может быть обеспечена при условии |
|
|
"• + Л л > ( т ^ - т ) п- |
т. е. |
при достаточно высокой плотности |
инертного газа пл . |
В многокомпонентной системе должно, однако, соблюдаться еще
условие устойчивости по отношению к диффузии, |
которое |
при |
отсутствии химических реакций сводится к положительной |
оп |
ределенности квадратичной формы [3] |
|
|
V |
nm n&Nn6Nn > 0, |
(31.18) |
т , п |
' |
|
|
где |
|
|
|
V |
„ = {d[iJdNn)T v. |
|
|
Условие (31.18) предполагает, таким образом, «замороженность» процессов ионизации и рекомбинации в плазме.
Однако при наличии в системе химических реакций, проте кающих независимо от диффузии, аналогичное (31.18) неравен ство можно представить в виде
Я ч м Л Ъ ) ' |
+ y i '\m_nM J N n >0. |
(31.19) |
i , к |
т , п |
|
Для положительной определенности квадратичной формы необ ходимо, чтобы диагональные элементы были положительны, т. е.
2 |
v « v*v* > 0’ |
(31-20> |
i , |
к |
|
|
v . > ° - |
(3L21> |
Условие (31.20) является условием устойчивости химического (ионизационного) равновесия. Обеспечить соблюдение неравен ства (31.21) невозможно, поскольку при больших у/ус
Следовательно, если рассматривать диффузию и ионизаци онно-рекомбинационные процессы независимо, то приходим к выводу, что плотная классическая плазма всегда неустойчива к процессам диффузии, даже при выполнении условий устойчи вости химического и механического равновесия системы. По скольку характерное время ионизационно-рекомбинационных процессов много меньше характерного времени диффузии (в до статочно плотной среде), можно, по-видимому, утверждать, что диффузия протекает при локальном химическом равновесии в малых объемах системы, т. е. в процессе диффузии в малых объемах не нарушается уравнение
Ра = Hv + Ич-
Приведенное рассмотрение, по-видимому, свидетельствует о том, что плотная классическая плазма с г|1 < л 1 ни при каких условиях не может существовать как устойчивая система. Физи чески очевидно, однако, что время ухода плазмы из состояния равновесия в результате диффузии существенно больше времен ухода вследствие неустойчивости других типов. Вопрос, в какое устойчивое состояние приходит система в результате развития того или иного типа неустойчивости, остается открытым. Не исключено, что при определенных условиях происходит расслое ние плотной плазмы на фазы.
Возникает естественный вопрос, а является ли устойчивой слабо неидеальная плазма, или даже полностью идеальная, со стоящая из атомов, электронов и ионов? Рассмотрим частично ионизованную дебаевскую плазму. Предположим для простоты, что заряженная компонента растворена в идеальном газе ато мов, и отвлечемся от зависимости статистической суммы атомов от плотности зарядов. Предположим также, что вклад возбуж денных состояний атома в его статистическую сумму несущест вен, что справедливо при не очень высоких температурах. С уче том сказанного уравнение состояния (9.13) и уравнение иони
зационного равновесия |
(9.12) запишем |
в виде: |
|
у - |
ехР I - [/ - 4 |
в»(2япеР),/*] р} ; |
(31.22) |
Р = (па + |
2пе) Г 1-у -е * (2 лР )'/’п;/‘. |
(31.23) |
Исследуем рассматриваемую систему на устойчивость, на пример, к быстрым возмущениям ее объема. Дебаевская плаз
ма, согласно утверждениям, сделанным выше, устойчива к таким механическим возмущениям, если
(dPleV)z, N. < 0.
Вычисляя эту производную с учетом выражения (31.23), полу чаем, что для указанной устойчивости необходимо выполнение неравенства
— (2 + пап71) + (2л)‘Л ( е ^ ^ п У ’ < 0. |
(31.24) |
Выразим плотность электронов пе через среднее расстояние ме жду заряженными частицами (электронами и ионами) г* из
соотношения:
Тогда получим
- (2 + па пТ1) + (Зл/2)ч‘ (e2P/r0)’/s < 0. |
(31.25) |
Второй член в левой части неравенства с точностью до числен ного множителя порядка единицы представляет собой отноше ние амплитуды рассеяния кулоновских частиц к среднему рас стоянию между зарядами в степени 3/2, т. е. величину, малую по сравнению с единицей в слабо неидеальной плазме. Следо вательно, условие (31.25) всегда соблюдается в дебаевской плазме. К этому же результату можно прийти, учитывая и дру гие поправки к дебаевскому члену по параметру гр{Л<С1.
Рассмотрим теперь, выполняется ли условие термодинамиче ской устойчивости (31.6), которое в случае водородной дебаев ской плазмы принимает вид
поскольку
(дпа/дпе)£ = (dnjdn,)е.
Дифференцирование выражения для па (31.23) по плотности электронов пе при неизменной температуре приводит к условию
( З л / 2 ) ' / * ( е * Р / г 0) , / , < |
1 . |
Вследствие слабой неидеальности дебаевской плазмы это нера венство выполняется. Следовательно, можно сделать вывод о термодинамической устойчивости дебаевской плазмы. Эта устойчивость должна сохраняться при г!кл-»-1, причем термоди намическая устойчивость должна нарушаться раньше, чем ус тойчивость плазмы к механическим возмущениям системы.
Предлагаем читателю убедиться в том, что вырожденная квантовая плазма в случае ее слабой неидеальности (’Пкв'С!)
* Для простоты рассматриваем лишь однозарядные ионы.
также представляет собой устойчивую систему в описанном вы ше смысле. Отметим, что устойчивость термодинамически иде альных систем автоматически следует из только что приведен ных рассуждений.
Вернемся теперь к обсуждению плазмы как системы куло новских частиц с сильным взаимодействием. Классическое рас смотрение плотной плазмы наталкивается на принципиальные трудности, вызванные расходимостью конфигурационного инте грала на малых расстояниях между частицами в случае куло новского взаимодействия. В квантовой теории таких трудностей возникать не должно, поскольку при сближении зарядов, со гласно принципу неопределенности Гейзенберга, возрастает не определенность импульса относительного движения частиц, что эффективно приводит к увеличению кинетической энергии ча стиц, распределение Гиббса теряет смысл и появляется эффек тивное отталкивание, связанное с квантовыми законами движе
ния. В разреженной плазме конфигурации |
со сблизившимися |
частицами маловероятны, и |
потому вклад |
малых расстояний |
в свободную энергию системы |
несуществен. |
При классическом |
рассмотрении нельзя, разумеется, учесть и образования свя занных состояний в достаточно плотной системе при взаимо действии разноименных зарядов.
Если потенциал - взаимодействия — однородная функция ко ординат, то, согласно теореме Клейна, можно представить в об щем виде AF — часть свободной энергии, обусловленную взаи модействием [6]. Величина AFfi/n является в случае классиче ской плазмы с сильным взаимодействием функцией параметра взаимодействия г|кл. В квантовой плотной плазме эта величина зависит не только от параметра взаимодействия, но и от отно шения дебройлевской длины волны % к характерной длине I (ко торой может быть радиус экранирования, амплитуда рассеяния или среднее расстояние между частицами).
Действительно, пусть потенциальная энергия частиц есть од нородная функция координат порядка s. Тогда, воспользовав шись соображениями подобия, можно определить, от каких па раметров зависит свободная энергия системы и вид этой зависимости. В классической термодинамике делают преобразо вание подобия вида
V |
-* t3V, |
р -> г 5р, |
где s — произвольная |
постоянная. Тогда (см., например, рабо |
ту [4]) статистический интеграл |
системы ZN преобразуется как |
|
|
(31.27) |
где k выражает закон преобразования обобщенного импульса p-+sl,/2p (s соответствует растяжению координат).
Очевидно, что наиболее общий вид функции ZN(V, Р ) , обла дающей свойством (31.26), таков:
Zjv=P~3,V(t + t |
)/ (vi рз/*)( |
|
|
тде f — произвольная |
функция. |
Поскольку |
свободная |
энергия |
то |
/ ^ |
- р |
- 1In ZN, |
|
|
|
|
|
|
|
/7==3( 4 - + |
т ) ^ |
р_11пР + л,Р"1ф( |
т : р3/,е) ' |
(31'28) |
В это выражение входит всего одна неизвестная функция от одной переменной (число частиц N введено во второй член спра ва таким образом, чтобы свободная энергия обладала должным свойством аддитивности). Положив теперь k = s, можно сказать, что AFfi/n есть функция одной переменной (е=т= 1):
x = nl/T ' /s.
Вслучае кулоновской системы s = —1 и
хьн е3р/г0.
Вквантовой статистике вместо статистического интеграла
•нужно рассматривать статистическую сумму и сделать дополни тельное преобразование
— -И
Величина рАF/n оказывается теперь функцией двух переменных, в качестве которых можно выбрать х и
у = П п и
Выпишем комбинации х и у, характеризующие безразмерные параметры. Так, параметр вырождения есть комбинация х н у , не зависящая от s:
x~lyi — h?nuр. |
|
Комбинация, не зависящая от р и имеющая смысл |
при р—>-°о, |
есть |
|
x'~sy~2 = /Аг_('/з) (2+s> -v r0/a0= rs при s = |
— 1. |
Наконец, комбинация, не зависящая от V, имеет вид |
|
х и у ~ 1 = / Г 1р ~ (~ + ~ ) . |
(31.30) |
В случае кулоновской системы (s = —1) такая комбинация дает
•отношение дебройлевской длины волны к амплитуде рассеяния, равное e2/hv.
