щения, так что энергия связи, приходящаяся |
;;а частицу, |
остается всегда ограниченной. |
стабильность |
По утверждению Дайсона [7], эмпирически |
вещества почти не зависит от сил некулоновского происхожде ния (ядерных, магнитного дипольного взаимодействия, эффек тов запаздывания, релятивистских эффектов, радиационных по правок и т. д.). Эти эффекты приводят к поправкам и принци пиально несущественны. Поэтому можно ограничиться пред ставлением, что вещество — совокупность зарядов, взаимодейст вующих по Кулону и подчиненных законам движения, диктуе мым нерелятивистской квантовой механикой. Если удастся понять устойчивость системы в такой модели, то значительно легче подойти и к пониманию устойчивости реального вещества.
Математический критерий устойчивости был сформулирован Дайсоном и Ленардом в следующем виде [7]. Пусть гамильто
ниан системы N ^ 2 заряженных частиц есть |
|
|
|
М+ 1 S |
|
eiej |
(30.1) |
I |
ri — <7 I |
|
<i<j<N |
|
Заряды ej могут иметь любой знак. Пусть далее |
|
£ м„„ (N. е, т) = Inf (V, HW), |
|
(30.2) |
где инфимум берется по всем jV-частичным волновым функ циям системы Чг(г1, г2 , ..., rN), нормированным на единицу, всем массам, удовлетворяющим условию
0 < т , < т, |
(30.3) |
и всем зарядам, подчиненным условию |
|
— е < в] < е. |
(30.4) |
Говорят, что система стабильна, если существует |
число А, та |
кое что для всех N |
(30.5) |
EMUH> - A N R y . |
Отметим, что в этом определении пока ничего не сказано о статистике частиц. В общем случае утверждение о стабильно сти должно учитывать и статистику частиц. Тогда число А должно зависеть от количества и сорта рассматриваемых ча стиц в системе.
Очень важно, что проблема устойчивости связана с необхо димостью подведения строгого математического базиса под статистическую механику. Статистика имеет физический смысл только в том случае, если термодинамические величины, такие, как энергия, энтропия и т. д., экстенсивны, т. е. пропорцио нальны числу частиц асимптотически для больших систем. Та ким образом, условие стабильности (30.5) необходимо для
определения конечной свободной энергии системы, нриходящейся па одну частицу.
Если не требовать большой точности при вычислении ниж ней границы энергии системы при больших N, то для установ ления такой границы необходимы совсем простые аргументы. В качестве примера можно высказать следующее утверждение: при соблюдении условий (30.3) и (30.4)
£мм„ ~> ■— (1/8) N2 (N — 1) Ry. |
(30.6) |
Действительно, гамильтониан (30.1) можно переписать в виде
HN = V VГ--------- ------ |
Л;---------- |
-------А,- + |
Z J Z J V 2тI (N — 1) |
|
2т: (N — 1) 1 |
Ki<j<N |
|
|
е,-g/ |
|
(30.7) |
|
|
|
K i < j |
N |
где Hjj — оператор двухчастичной |
системы с зарядами е* и Cj |
и массами m*(/V—1) и тДАг—1). Тогда можно сделать следую щее простое преобразование:
£м„н = Inf (Y, HW) > V Inf (4/f HUW).
1<i</<jV
Но
|
(N — |
1) m,-m/ |
e2e2. |
при e^j < 0; |
|
ГП( |
Itlj |
2//2 |
|
|
|
|
0 |
|
при |
|
> 0. |
Среди nap (i, j) найдется самое большое |
(1/4)N2, |
для которых |
■еге_,<0, и для них |
|
9 О |
((V— 1) те4 |
|
|
|
mimj |
N — 1 |
|
eiel |
Ry, |
( I V - 1) mi |
т/ |
2/i2 |
4ft2 ” |
|
|
что и доказывает сделанное выше утверждение. |
|
|
К сожалению, |
неравенство (30.6) дает лишь грубую нижнюю |
границу для энергии основного состояния системы, но не решает проблемы стабильности. Оказывается возможным сделать го раздо более сильное утверждение. Пусть система N частиц, чьи
массы и заряды удовлетворяют условиям (30.3) |
и (30.4), |
при |
надлежит к q^s\ различным сортам фермионов. |
Тогда |
|
£ Мин > — Aq'^N'Ry, |
|
(30.8) |
где А ^ 5 0 0 — абсолютная константа. Иными |
словами, |
это |
означает, что система, в которой фиксировано |
число фермио |
нов, стабильна. Доказательство этого утверждения новозможно привести здесь ввиду его сложности [7]. При подсчете q каждое спиновое состояние определенного сорта частиц должно подсчи-
гываться отдельно, антисимметрия пространственных волновых функций соблюдается только для частиц одного сорта и одного' и того же спинового квантового состояния.
Утверждение (30.8) несовершенно в двух отношениях. Во-первых, для стабильности системы требование, чтобы все частицы были фермионами, отнюдь не обязательно (эмпириче ский факт). Статистика ядер, например, не связана с пробле мой устойчивости. Поэтому предположение, что только частицы одного знака (скажем, отрицательные) есть фермионы, яв ляется существенным ограничением. Во-вторых, константа А содержит массу ядра. Эмпирический факт состоит в том, что химическая связь и энергия связи определяются только ридбергом, в который входит масса электрона, но не масса ядра. Ста бильность системы не должна зависеть от массы ядра и долж на иметь место, даже если масса ядра бесконечна.
Очень сильное утверждение, свободное от этих недостатков* состоит в следующем. Пусть N отрицательно заряженных ча стиц принадлежит к различным сортам фермионов; их массы и
заряды подчинены |
условиям |
(30.3) и (30.4) |
соответственно; |
произвольное число |
положительно заряженных частиц удовле |
творяет единственному условию |
(30.4), а их статистика и мас |
сы произвольны. Тогда |
|
|
|
Е.МИНy — Aq2!>NRy. |
(30.9) |
Доказательство этой теоремы обещано Дайсоном и Лепардом. Существенно, что это неравенство решает проблему устойчиво сти системы в постановке задачи (30.5).
Чрезвычайно важно, что без введения статистики частиц не возможно построение экстенсивной нижней границы энергии системы. Поэтому существенно, что стабильность вещества тес но связана со статистикой частиц, и в частности с принципом Паули. Утверждение (30.8) легко обобщить па систему ферми онов на фоне компенсирующего заряда. Это обобщение имеет, таким образом, непосредственное отношение к модели элек тронного газа, которая подробно описана выше. В этой модели фермионы взаимодействуют не только друг с другом, но и с полем, создаваемым зарядовым фоном. Пусть р(х)— плотность заряда, создающего внешнее поле. Гамильтониан системы можно представить в виде
N
N
+ - у J dxdW (*) ух(>Уу j - (30.10)
Здесь третий член в правой части учитывает взаимодействие электронов с внешним полем, а последний — собственную энер гию фона. Предположим, что собственная энергия — некоторое конечное число (для дальнейшего это несущественно) и N ча стиц удовлетворяют условиям теоремы (30.8) и подвержены действию поля, обусловленного фоном с конечной собственной энергией. Тогда можно утверждать, что
Еыи11> - А ( 2 д у Ш Я у . |
(30.11) |
Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим фиктивную систему, состоящую из 2N частиц, N из которых имеют мас сы rrii и заряды е,-, а остальные N частиц обладают теми же массами, но противоположными по знаку зарядами — е,-. Пусть
/ S ,
для общности полное число сортов частиц есть 2q и Н 2ы— гамильтониан системы, включающий кинетическую энергию и кулоновскую энергию взаимодействия 2N зарядов. Рассмотрим теперь энергию этой системы в состоянии, которое описывается функцией
|
|
(гх, г2, . |
. |
., r2N) = ф (г1? |
г2............. Гдг) X |
|
|
|
|
Х Ф |
( г ,У + 1 . |
Г ЛГ+2> |
• |
• |
• |
’ |
r 2 j v ) ' |
|
( 3 0 . 1 2 ) |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ф, |
Я ^Ф ) = |
2 (ф, Ядгф) — | dr |
|
| ф (и — r„) |2 X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
2 N |
|
|
X |
I Ф ( Г Л Г + 1 ’ r , V + 2 > |
• • |
• > r 2 n ) \2 £ |
|
£ |
I и — г / 1 ’ |
( 3 0 ' 1 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1ST лчл |
|
|
где HN— гамильтониан |
(30.1). Тогда |
из теоремы (30.8) следует |
|
|
|
(Ф, |
Я ^ ф ) |
> - ( 2/V)(2<7)!/*Ry. |
|
(30л4) |
Сравним это выражение с математическим ожиданием опе |
ратора (30.10) по состоянию ф: |
|
|
|
|
|
|
|
(ф, |
H |
N ф) = (ф, |
H N ф) ] |
d m г j |
у |
(Г1, |
р2................Гдг) |2 X |
|
|
X |
\ d3x V |
-M W — + — |
Гd*x f d3y P(x)p(y| ' . |
|
|
|
J |
iL l I — * | |
2 J |
|
|
J |
| x - y | |
|
|
|
|
t=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ф, |
HNФ) - |
-£■ (Ф, H'2NФ) = |
- r |
\ d 3x | d8; |
P' (x) p' (y) |
(30.15) |
X — у |
где |
|
|
Р' (х) = Р(х) + J d3Nr | г|> |2 2 |
efi (г, — х). |
i=i |
|
|
Интеграл в правой части выражения |
(30.15) |
неотрицателен. |
Следовательно, |
|
|
(ф, /^ф ) > -i- (V, H'2NV) . |
(30.16) |
Сравнение неравенств (30.16) и (30.14) приводит к доказатель ству сделанного выше утверждения.
Равенство в (30.16) имеет место лишь в случае р/= 0, т. е. когда фон точно компенсируется зарядовой плотностью частиц
К " г | Ф I2 ]>3 efi (г, — х).
Этот случай и представляет интерес (квазинейтральность си стемы).
В приведенном доказательстве существенно, что последний член в выражении (30.10) — собственная энергия фона — вклю
|
|
|
|
|
чен в определение H N. В связи с этим |
невозможно рассматри |
вать р(х) как сингулярную |
плотность |
заряда |
определенного |
числа точечных зарядов, так |
как в |
этом случае |
собственная |
энергия бесконечна и утверждение |
(30.11) не имеет смысла. |
Отметим, что утверждение |
(30.9) |
представляет собой суще |
ственно более общий результат по сравнению с (30.11), так как оно констатирует стабильность системы заряженных фермионов ь поле фиксированных точечных зарядов, где энергия, по опре делению, не содержит какого-либо члена собственной энергии.
В предыдущей главе был предложен метод систематических оценок энергии системы в проблеме многих тел. В частности, этот метод имеет прямое отношение к изучению стабильности системы. Установление нижней границы в этом смысле эквива лентно теоремам Дайсона, поскольку нашей целью было полу чение граничного значения для энергии как экстенсивной ве
личины в асимптотическом пределе N—у о о , |
V->-oo, n = const. |
Предложенный в предыдущей главе метод |
выгодно отли |
чается от метода Дайсона тем, что он дает рецепт последова тельного сближения граничных значений для энергии к ее точ ному значению, в то время как мажорантные теоремы Дайсона не могут ответить на вопрос, насколько нижняя граница близка к истинному значению энергии системы, и не указывает алго ритма улучшения этой границы. Однако метод Дайсона имеет и одно важное преимущество: изложенные выше теоремы не предполагают в качестве обязательного условия положительной определенности оператора взаимодействия. Мажорантные тео ремы, используемые в нашем методе, не доказаны для отрица тельно определенного эрмитова оператора, поэтому предло
