Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

женный метод может использоваться обоснованно пока лишь для систем типа электронного газа. Если бы мажорантные тео-

ремы для U< 0 были доказаны, можно было бы указать кон­ кретный путь сколь угодно сильного улучшения граничных зна­ чений Дайсона.

§ 31. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ

Рассмотрим условия термодинамической устойчивости си­ стемы кулоновских частиц, в частности, на примере классиче­ ской системы с сильным взаимодействием. Такая система уже обсуждалась кратко в § 18. Сильное взаимодействие характе­ ризуется параметром

характеризующее малость длины волны по сравнению с ампли­ тудой рассеяния. При этом столкновения заряженных частиц и в плотной плазме можно с достаточной точностью описывать классическими законами. Квантовые свойства системы начи­ нают играть существенную роль в случае вырождения, когда параметр а не мал.

Пусть система состоит из двух компонент: нейтральной (атомов) и заряженной (электронов и однозарядных ионов) с сильным взаимодействием. Предположим для простоты что за­ ряды «растворены» в нейтральной компоненте, т. е. отсутствует взаимодействие атом—заряд, а подсистема атомов термодина­ мически идеальна.

В рамках термодинамики можно рассмотреть условия устой­ чивости плазмы по отношению к адиабатическим возмущениям, протекающим со скоростью, меньшей скорости ионизационной

310

принцип означает следующее: внешнее воздействие, выводящее систему из равновесия, стимулирует в ней процессы, стремя­ щиеся ослабить это воздействие. Так, изменение температуры при постоянном объеме приводит к изменению энтропии систе­ мы. Это означает, что система получает некоторое количество тепла или система теряет некоторое количество тепла, что при­ водит к нарушению равновесия. Восстановление равновесия и должно происходить согласно условию (31.4). Этот результат можно понять еще и так: увеличение температуры системы при постоянном объеме увеличивает число заселенных энергетиче­

ство (31.5). Если система выводится из равновесия путем изме­ нения ее объема при неизменной температуре, то меняется давление в системе. Восстановление равновесия приводит к уменьшению абсолютного значения изменения давления. По­ скольку, например, уменьшение объема системы увеличивает давление, то можно сказать, что уменьшение объема стимули­ рует в системе процессы, стремящиеся уменьшить давление. Поэтому производная в неравенстве (31.5) отрицательна.

Неравенства (31.4) и (31.5) учитывают электроиейтральпость плазмы, а суммарное число ионов и электронов сохра­ няется. Эти неравенства можно свести к простому, физически ясному условию вида

т. е. при постоянной температуре изменения равновесных кон­ центраций атомов и ионов должны быть одного знака [5].

Иногда в качестве единственного условия устойчивости рас­ сматривают неравенство

(dP/dV)T, Nj < О,

которое является необходимым, но недостаточным условием термодинамической устойчивости. В частности, в работе [2], обсуждавшейся в § 18, делается вывод, что добавление идеаль­ ного газа нейтральных частиц может устранить неустойчи­ вость классической системы кулоновских частиц с сильным взаимодействием. Это неверно, поскольку условие (31.4) про­ тиворечит этому выводу, а границы устойчивости системы, при­ веденные в работе [2], теряют смысл, если рассматривать ус­ ловия термодинамической устойчивости.

Именно эта устойчивость обеспечивает возможность сущест­ вования сильновзаимодействующих кулоновских систем. Однако,

311

вообще говоря, имеет смысл исследовать устойчивость систе­ мы при различных типах возмущений. Так, можно рассматри­

где па— плотность нейтральных атомов; п — плотность заряжен­ ных частиц;

Рассмотрим устойчивость плазмы к механическому возму­ щению, медленному в указанном выше смысле. Пусть в системе происходят процессы ионизации и рекомбинации

аi -f е.

зующая число протекающих элементарных реакций. Удобно вве­ сти | следующим образом *:

где N° — первоначальное число атомов в объеме V. Тогда сво­ бодную энергию рассматриваемой системы можно записать в переменных Т, V, При этом вместо выражения (18.10) по­ лучим

Давление в системе определяется производной от этой вели­ чины по объему с обратным знаком:

P ~ - ( d F / d \ г)тл.

Поскольку система находится, по предположению, в состоянии химического (ионизационного) равновесия, то (dF/dl)T v = 0 и

* Это удобно при вычислении производных при постоянном числе частиц. Такие производные нужно брать теперь просто при £ = const.

312

Тогда

(dPldV)T= (dP/dV)T г + (dP/dl)T v (dtldV)T.

Из выражений (31.10) и (31.11) следует

Подставляя в (31.13) полученные таким образом выражения, получаем

Поскольку условие (31.7) обеспечивается отрицательностью про­ изводной (dP/dV)T'i и вместе с тем определяет отрицательный знак второго члена в правой части выражения (31.14), то мож­ но утверждать, что если рассматриваемая система устойчива к мгновенным изменениям объема, то она устойчива и к адиаба­ тическому его изменению.

Можно совершенно формально из термодинамических соот­

которые также легко понять физически с помощью принципа Ле-Шателье. Именно, система с большим числом закрепленных параметров должна активнее сопротивляться внешнему воздей­ ствию, в данном случае изменению объема системы. Как видно из выражения (31.14), условие (31.15) выполняется, если

т. е. при достаточно малой плотности нейтральных частиц, что противоречит условию механической устойчивости (31.7).

Попробуем понять, в чем дело. Представим производную

(dP/dV)T в виде

Нетрудно видеть, что второй член в правой части этого выра­ жения отрицателен, если (d2F/d£,2)TiV> 0. Но последнее нера­

313